Канонический базис пространства и матрица оператора в нем

[pandemodeus]

Добрый день.
Пытаюсь решить следующую задачу:
Ортогональный оператор $\mathcal{A}$ в некотором ортонормированном базисе евклидова пространства задан матрицей:

$$\begin{bmatrix} 0&0&0&1 \\ 1&0&0&0 \\ 0&1&0&0 \\ 0&0&1&0 \end{bmatrix}$$

Найти канонический базис и матрицу этого оператора в нем.
Задача заключается в построении жордановой формы и соответствующего базиса.
Для этого прежде всего нужно найти собственные значения оператора. Характеристический многочлен имеет вид: $\lambda^4$-1=0.
Вещественных корней только 2, и оба они кратности 1: $\lambda_1$=1 и $\lambda_2$=-1. Стало быть, корневое подпространство для каждого из
этих значений имеет размерность 1, а т.к. их размерность совпадает с размерностью собственных подпространств и также равна 1, то жордановы клетки для этих собственных значений представляют собой сами эти собственные значения. Однако, очевидно, что все пространство не распадается на прямую сумму корневых подпространств, а должно. Его нужно как-то дополнить? Или комплексные корни посчитать за 0 кратности 2? В ответе указано, что жорданова форма имеет вид:

$$\begin{bmatrix} -1&0&0&0 \\ 0&1&0&0 \\ 0&0&0&-1 \\ 0&0&1&0 \\ \end{bmatrix}$$

Я не могу понять, как взялись последние 2 столбца?

[mihaild]

pandemodeus в сообщении #1436115 писал(а):

Или комплексные корни посчитать за 0 кратности 2?

Их посчитать за комплексные корни. Над алгебраически незамкнутым полем оператор, вообще говоря, к жордановой форме не приводится.

pandemodeus в сообщении #1436115 писал(а):

В ответе указано, что жорданова форма имеет вид:

Это не жорданова форма. Как минимум жорданова форма верхнетреугольная.

[Munin]

mihaild в сообщении #1436118 писал(а):

Это не жорданова форма. Как минимум жорданова форма верхнетреугольная.

Это "жорданова форма над $\mathbb{R}$" - а-ля вот такое вот.
Это $(2,1)$-блочно-верхнетреугольная матрица:

-- 20.01.2020 16:25:21 --

$$\begin{pmatrix} -1&0&\multicolumn{1}{|c}{0}&0 \\ 0&1&\multicolumn{1}{|c}{0}&0 \\ \hline 0&0&\multicolumn{1}{|c}{0}&-1 \\ 0&0&\multicolumn{1}{|c}{1}&0 \\ \end{pmatrix}$$

-- 20.01.2020 16:36:23 --

pandemodeus в сообщении #1436115 писал(а):

Или комплексные корни посчитать за 0 кратности 2?

Ни в коем случае, поскольку в комплексном смысле это нули кратности 1. Все четыре нуля имеют кратность 1: $\{1,-1,i,-i\}.$

-- 20.01.2020 16:58:21 --

Базисные векторы легко найти подбором. (До нормализации, они будут векторами с координатами $\{1,0,-1\}.$)

Но можно и порассуждать геометрически. Один базисный вектор очевиден: это (пишу ненормализованный) $(1,1,1,1).$ Остальные должны быть ему ортогональны.

Ортогональное ему 3-мерное пространство - это обычное 3-мерное пространство. Проекции на него стандартных базисных векторов - это вершины тетраэдра. Оператор циклически переставляет эти вершины. Как устроено такое движение 3-мерного пространства? А вот как:

(из https://en.wikiversity.org/wiki/Full_octahedral_group )

(Здесь можно смотреть снизу справа как на светло-коричневый тетраэдр, так и на тёмно-коричневый тетраэдр.) То есть, такое движение - это несобственный поворот на $\pi/2$ - поворот с отражением в плоскости поворота. Видно, какие линейные комбинации вершин тетраэдра испытывают отражение (их подпространство подвержено оператору $(-1)$), а какие - повороту на $90^\circ$ - их подпространство испытывает действие оператора $\left(\begin{smallmatrix}0&-1\\1&0\end{smallmatrix}\right).$

[Munin]

Вообще задачка красивая и интересная, если её обобщить на произвольную размерность $n.$

[nnosipov]

pandemodeus в сообщении #1436115 писал(а):

Задача заключается в построении жордановой формы и соответствующего базиса.

Это неправильная интерпретация условия задачи. Оператор ортогональный, и для него канонический вид должен быть соответствующий.

[pandemodeus]

nnosipov в сообщении #1436135 писал(а):

pandemodeus в сообщении #1436115 писал(а):

Задача заключается в построении жордановой формы и соответствующего базиса.

Это неправильная интерпретация условия задачи. Оператор ортогональный, и для него канонический вид должен быть соответствующий.

Я согласен, насчет интерпретации я не прав, ибо каноническая форма матрицы ортогонального оператора - это квазидиагональная матрица с клетками [1], [-1] или

$$\begin{bmatrix} \cos\varphi&-\sin\varphi \\ \sin\varphi& \cos\varphi \end{bmatrix}$$

на главной диагонали.
Я не понял, что нужно делать с комплексными корнями, чтобы перейти к подматрице в правом нижнем углу канонической.

-- 20.01.2020, 19:02 --

Разобрался, вопрос закрыт.
Спасибо большое всем за подсказки.

[nnosipov]

pandemodeus в сообщении #1436148 писал(а):

Я не понял, что нужно делать с комплексными корнями

Возьмите один из них и найдите соответствующий ему собственный вектор (этот вектор будет иметь комплексные координаты, но пугаться этого не стоит).

-- Пн янв 20, 2020 23:05:57 --

pandemodeus в сообщении #1436148 писал(а):

Разобрался, вопрос закрыт.

А, ну и хорошо.

[Munin]

nnosipov
А вы не подскажете, как $n-1$-мерный симплекс (натянутый на орты $n$-мерного пространства) спроецировать на вершины правильного двумерного $n$-угольника?

[arseniiv]

А что там делать, задать образы каждого вектора и всё. Получится матрица

$$\begin{bmatrix} \vphantom{\Big|}\cos\frac0n\tau & \cdots & \cos\frac{n-1}n\tau \\ \vphantom{\Big|}\sin\frac0n\tau & \cdots & \sin\frac{n-1}n\tau \\ \end{bmatrix}.$$

Или предполагается погрузить $n$-угольник в то же (или другое) $n$-мерие и интересует какая-нибудь как раз ЖНФ?

[Munin]

В конечном счёте интересует как раз ЖНФ. Но и этот ответ пригодится. Спасибо!
(А чего вы матрицы в квадратных скобках пишете? Насколько я знаю, изначально они в круглых, а квадратные скобки или двойные вертикальные линии - это от скудости типографских средств в докомпьютерном книжном наборе (не самом дорогом).)

[arseniiv]

(А мне нравятся квадратные что-то… Не знаю. Может потому что руками я тоже предпочитал квадратные.)

ЖНФ довольно скучная, ненулевых строк-то в ней не прибавится. Она имеет вид $\operatorname{diag}(1, \sin\frac\tau n, 0, \ldots, 0)$.

-- Пн янв 20, 2020 22:38:08 --

Наверно лучше направить плоскость многоугольника параллельно гиперплоскости симплекса, если уж мы вкладываем их в одно и то же пространство, хотя тут слишком много свободы выбора, я пас. Притом 1- и 2-симплекс можно отображать ортогональной проекцией, но дальше уже такое не пройдёт.

[Munin]

arseniiv
ЖНФ преобразования, циклически переставляющего орты. Там нулевых блоков на диагонали быть не должно.

-- 20.01.2020 21:47:29 --

arseniiv в сообщении #1436159 писал(а):

Наверно лучше направить плоскость многоугольника параллельно гиперплоскости симплекса

Проблема в том, что плоскость двумерна, а гиперплоскость симплекса - нет.

-- 20.01.2020 21:48:45 --

arseniiv в сообщении #1436159 писал(а):

1- и 2-симплекс

С 1-, 2- и даже 3-симплексом мы, наверное, разобрались. Интересней дальше.

[arseniiv]

(Оффтоп)

Munin в сообщении #1436163 писал(а):

ЖНФ преобразования, циклически переставляющего орты.

А. Ну я тут могу пока только сказать очевидную вещь про собственный вектор $e_1 + \ldots + e_n$ с единичным собственным значением. Одну скучненькую клетку это даёт, осталось $n - 1$…

[g______d]

Думаю, стоит отметить, что такие матрицы (и более широкий класс) диагонализуются дискретным преобразованием Фурье.

https://en.wikipedia.org/wiki/Circulant_matrix

[Munin]

g______d
О! Спасибо!

-- 20.01.2020 22:34:29 --

Хех, там даже эйгенвекторы в явном виде приведены. Правда, комплексные.