Ряды

[vadimm]

Читаю книгу Л.С. Понтрягина "Анализ бесконечно малых". Есть некоторое недопонимание.

Автор пишет про бесконечный ряд:

Цитата:

(1) $ z_1 + z_2 + \dots + z_n + \dots$, где $z \in \mathbb{R}$ или $z \in \mathbb{C}$

Далее автор рассматривает бесконечный ряд:

Цитата:

(2) $1 - 1 + 1 - 1 + \dots$

и пишет, что если позволить оперировать с этой суммой как с обычной конечной, то по разному комбинируя её слагаемые мы получим сумму равную либо $0$ либо $1$.

То есть автор показывает, что сумма одно и того же ряда $(2)$ может быть разной в зависимости от того, как мы делаем расчет.

Первое замечание. Но разве это так? Ведь очевидно, что сумма ряда определена однозначно и зависит не от комбинации слагаемых предлагаемой в книге автором, а от того на каком месте мы прекратили суммирование. Если прекратили суммирование на слагаемом с чётным номером, то есть $(1 - 1)$, то получим нуль. Если на нечетном номере, то есть суммируем нечетное число членов ряда: $(1 - 1 + 1)$, то сумма всегда равна единице. Никакой неоднозначности и не ясности о которой говорит автор тут нет. Мы всегда знаем, можем точно определить чему равна сумма ряда $(2)$. Не понимаю, в чем проблема о которой заявляет автор?

Дальше автор пишет, что для точного описания суммы ряда $ (1) $ составляют предварительные конечные суммы:

Цитата:

(3) $ s_n = z_1 + z_2 + \dots + z_n$

Если при неограниченно возрастающем числе $n$ сумма $s_n$ стремится к определенному числу $s$, то считается, что ряд $(1)$ можно суммировать и сумма его равна $s$, то есть ряд сходящийся.

Второе замечание. Почему не может быть так, что после подсчета конечной суммы $(3)$ ряд сначала сходился. А потом, начиная с некоторого числа $n + 1$, начал расходится? Тогда по видимому сумма бесконечного ряда $(1)$ не будет определена.

Как пишет автор, в таких рядах также могут быть странности. Например, если в $(1)$ поменять местами некоторые слагаемые, то такой новый ряд будет сходиться, но может быть так, что сумма нового ряда не будет равна сумме первоначального ряда $(1)$.

Третье замечание. Выглядит контринтуитивно. Можно, пожалуйста, пример такого ряда.

Помогите мне, пожалуйста, разобраться.

[iifat]

vadimm в сообщении #1435816 писал(а):

очевидно, что сумма ряда определена однозначно

... Если она вообще определена. Перечитайте определение суммы бесконечного ряда и попробуйте применить его к приведённому вами.

vadimm в сообщении #1435816 писал(а):

для точного описания

Ни для какого не описания. Это определение суммы. В отличие от конечных сумм, сумма бесконечного ряда может и не существовать.

vadimm в сообщении #1435816 писал(а):

Почему не может быть так, что после подсчета конечной суммы $(3)$ ряд сначала сходился

Эээ, простите, вам надо перечитать начиная с пределов вообще.

vadimm в сообщении #1435816 писал(а):

в таких рядах также могут быть странности

Не в таких рядах. Ряд из единиц не имеет суммы, и никаких таких странностей в нём нет. Такие странности присутствуют, например, в ряде $\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{(-1)^n}n$, который — в исходном виде — сумму как раз таки имеет, но перестановки слагаемых могут приводить как к ряду с произвольной заданной суммой, так и к расходящемуся.

[Connector]

vadimm в сообщении #1435816 писал(а):

Но разве это так? Ведь очевидно, что сумма ряда определена однозначно и зависит не от комбинации слагаемых предлагаемой в книге автором, а от того на каком месте мы прекратили суммирование.

Имеется в виду, что мы не прекращаем суммирование, а берём сумму всех членов последовательности. И здесь, наивно рассуждая, мы получим либо $0$, если будем брать сумму $(1-1)+(1-1)+ ....$, либо $1$, если будем применять операцию в другом порядке.

[Tiberium]

Попробуйте прочитать параграф "Начальные сведения о рядах" в Зориче. В шестом издании это 110-я страница. Несколько подобных примеров там как раз приведены.

[ИСН]

На словах "прекратили суммирование" бейте себя книгой по голове. Не прекращали суммирование! Там больше членов, чем $100$. Больше, чем $1\,000\,000$. Больше, чем гугол. Любое число назовите - так вот, их там больше. Конца им нет. В этом смысл слова "бесконечность".

[vadimm]

ИСН в сообщении #1435837 писал(а):

Не прекращали суммирование! Там больше членов, чем $100$. Больше, чем $1\,000\,000$. Больше, чем гугол. Любое число назовите - так вот, их там больше. Конца им нет.

Это и так понятно.

Я о том, что сумма ряда $ (2)$ однозначна определена и равна нулю. И нет там никакой двусмысленности.

[ИСН]

Это смотря как определять. Вы как определяете, например? На чётных номерах она 0, на нечётных - 1, а что будет после бесконечности и как вообще можно об этом судить?

[vadimm]

ИСН в сообщении #1435869 писал(а):

Это смотря как определять. Вы как определяете, например?

Очевидно же, что сумма первых четырех слагаемых этого ряда

Цитата:

$1 - 1 + 1 - 1 + \dots$

равна нулю и далее бесконечно продолжаем этот процесс (многоточие в записи). В итоге получаем нуль и ничего другого. А вот если бы ряд записывался как:

Цитата:

$1 - 1 + 1 - \dots$

тогда сумма равна $1$, но это уже другой бесконечный ряд. Не надо их путать. Первый всегда равен нулю, второй всегда единице. И всё!

[Otta]

vadimm в сообщении #1435879 писал(а):

тогда сумма равна $1$, но это уже другой бесконечный ряд.

А сколько в нем слагаемых?

[vadimm]

Otta в сообщении #1435881 писал(а):

А сколько в нем слагаемых?

Континуум.

[Otta]

vadimm
Прям таки континуум?
Не надо говорить слов, значения которых не знаете.
Лучше скажите "бесконечно много".
Я к чему - четвертое есть?

[vadimm]

Otta в сообщении #1435885 писал(а):

Я к чему - четвертое есть?

Зачем сомнения? Я же к тому, что сумма именно такого бесконечного (тут сами решайте, если в нем четвертое, пятое, ... слагаемые) всегда равна единице. Если ряд записан таким вот образом. Чтобы получить неоднозначность, его тогда нужно перезаписать иначе, в других символах.

[Otta]

vadimm
Я не прошу Вас спрашивать меня. Я сама Вас спрашиваю.
В ряде, который у Вас во второй цитате - четвертое слагаемое есть или только три? Да или нет? Не надо лишнего писать.

[vadimm]

Otta в сообщении #1435890 писал(а):

Я не прошу Вас спрашивать меня. Я сама Вас спрашиваю.

Otta в сообщении #1435890 писал(а):

Не надо лишнего писать.

Это попахивает невежеством.

Otta в сообщении #1435890 писал(а):

Да или нет?

Такая постановка вопроса бессмысленна. Мы уже разобрались, что слагаемых бесконечно много.

[Pphantom]

vadimm в сообщении #1435894 писал(а):

Это попахивает невежеством.

Да - вашим. Ответьте, пожалуйста, на заданный вопрос.