Взаимный базис и метрический тезор

[Munin]

Akom в сообщении #1435244 писал(а):

У него получается, что левая матрица состоит из столбцов базисных векторов, а правая транспонирована, то есть базисы в строках. Я вот не могу понять, если я применю это к своему примеру, то у меня метрический тензор выходит вот такой:

$\boldsymbol{g}_{i}_{k} = \begin{pmatrix} \frac{ \sqrt{3} }{ 2 } & 0 \\ \frac{ 1 }{ 2 } & 1 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} \frac{ \sqrt{3} }{ 2 } & \frac{ 1 }{ 2 } \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{ 3 }{ 4 } & \frac{ \sqrt{3} }{ 4 } \\ \frac{ \sqrt{3} }{ 4 } & \frac{ 5 }{ 4 } \end{pmatrix}$

но это ведь не верно. Я чего то опять не до понимаю или у него ошибка?

Если вы меняете по смыслу строки и столбцы, то вы должны записывать в обратном порядке все произведения. Потому что $(AB)^\mathrm{T}=B^\mathrm{T}A^\mathrm{T},$ и то же верно для произведений любой длины. То есть, пишете:

$\boldsymbol{g}_{ik}=\begin{pmatrix}\tfrac{\sqrt{3}}{2}&\tfrac{1}{2}\\0&1\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}\tfrac{\sqrt{3}}{2}&0\\ \frac{1}{2}&1\end{pmatrix}$

и получаете то, что надо. (Вообще получилась бы матрица, транспонированная к первому случаю, но поскольку $\boldsymbol{g}_{ik}$ симметрический, получите ровно то же, что и раньше.)

-- 15.01.2020 14:17:01 --

Akom в сообщении #1435244 писал(а):

Изначально способ получения этого тензора я брал в книге Речкалова В.Г. "Векторная и тензорная алгебра"

Вам эту книгу в ВУЗе рекомендовали, или как вы на неё нашли?

Какая-то самодельная книжка. Стоит взять популярный и проверенный учебник.

[Akom]

Munin в сообщении #1435301 писал(а):

Вам эту книгу в ВУЗе рекомендовали, или как вы на неё нашли?

да нет, просто искал чего по проще...

Munin в сообщении #1435301 писал(а):

Стоит взять популярный и проверенный учебник.

А так рекомендовали вот этот вот: Мусин Ю.Р. "Тензорный анализ. Вводный курс с приложениями к анализу и геометрии."

[Munin]

Мусин мне тоже не знаком.

Но может быть, сейчас кто-нибудь что-нибудь порекомендует. Я математику остерегусь рекомендовать. К тому же, стоит уточнить:
- зачем вам тензоры,
- и на каком уровне вы находитесь.

[Akom]

Munin в сообщении #1435550 писал(а):

- зачем вам тензоры,
- и на каком уровне вы находитесь.

Наивно звучит может, но вот теорией гравитации заинтересовался, хочется хотя бы легонько к настоящей науке прикоснуться. А уровень низкий весьма, 2 курс, техническая специальность. Тензоры всплывали пару раз, но ничего серьезного да и далее программа не предполагает сие. Пробовал Шикина, Позняка, но для меня очень сжато и поэтому трудновато пока, осилил 1, 2 главы, 3,4,5 уже весьма ущербно.

[Munin]

Да, звучит наивно, но не страшно :-)
Весьма многое можно понять по учебникам гравитации (Вайнберг, Мизнер-Торн-Уилер, Ландау-Лифшиц).
Кроме того, освоиться с тензорами можно в физической теории, которая предшествует теории гравитации: специальная теория относительности, и теория электромагнитного поля (на языке теории относительности). Здесь очень хорош учебник Ландау-Лифшица, также поможет учебник Фейнмана.

Позняк-Шикин - наверное, хорошая книжка, хотя я её не читал. По крайней мере, известная. Судя по первому взгляду, вполне подходит для ваших целей (изучение дифференциальной геометрии, чтобы читать про гравитацию). Лучше, наверное, придерживаться неё как основного источника, а в другие книги заглядывать для "объяснений на пальцах". Если она для вас сжатая, то вам нужны скорее задачи, чтобы на практике поупражняться с новыми понятиями (что вы и делаете, это отлично).

-- 17.01.2020 15:57:43 --

Надо сказать, что тензоры в разных разделах математики определяются (дефинируются) по-разному, двумя-тремя способами. Когда доходит до дела, эти определения оказываются эквивалентны, но вначале это может сбивать с толку. К тому же, эти разные определения строят разную интуицию восприятия тензоров. Для сравнения, вспомните, что в школе вектор был "отрезочком со стрелочкой", а в линейной алгебре - это абстрактный алгебраический объект, который можно складывать между собой и умножать на числа.

Тензоры как алгебраический объект - строятся через тензорное произведение. (https://en.wikipedia.org/wiki/Tensor_product) Это определение наиболее общее, но поначалу неинтуитивное. С другой стороны, если вы возьмёте примеры векторов в числовом пространстве ($\mathbb{R}^n$ или $\mathbb{C}^n$), то здесь можно понять, в каком смысле тензоры - это "таблички чисел" (в том числе, "многомерные таблички").

Тензоры как геометрический объект - помещаются внутрь какого-то векторного пространства. Это определение в стиле "набор чисел, преобразующийся при заменах базиса таким-то образом". Само по себе непонятно, но можно заметить, что это обобщение понятий скаляра, вектора, ковектора (ковариантного вектора, сопряжённого вектора). Можно построить первые примеры тензоров в виде пар, троек, $n$-ок векторов, или векторов с ковекторами, а дальше рассматривать их линейные комбинации.

Тензоры как функции (отображения). В предыдущем определении, мы знаем, что можно взять скалярное произведение ковектора на вектор

(в евклидовом пространстве - скалярное произведение векторов; в матричной алгебре - произведение вектора-строки на вектор-столбец).

Значит, составив геометрический объект из $m$ векторов и $n$ ковекторов, можно потом его $n$ раз умножить с векторами, и $m$ раз - с ковекторами. Результат получится скалярным. Значит, сам геометрический объект - функция $(m,n)$ аргументов, причём полилинейная (линейная по каждому аргументу). И это тоже можно взять за определение. Это интуитивно наиболее непонятный подход, но зато на практике довольно удобный: тензор - это "машинка для вычислений" не важно чего; а если нам нужны компоненты, то мы их можем вытащить, скармливая в качестве аргументов разные базисные векторы.

И ещё.
Тензоры - часто это сокращение от тензорные поля, аналогичные скалярным и векторным полям. Они задаются в пространстве или на многообразии (это абстрактное "искривлённое пространство"). То есть, каждой точке пространства сопоставляется тензор. Но чтобы это была "хорошая функция", эти тензоры в соседних точках пространства должны быть непрерывными, гладкими и допускать достаточно много производных. Тогда можно выполнять операции дифференцирования и интегрирования. Это и будет тензорный анализ - а предыдущие определения позволяли строить только тензорную алгебру. Именно тензорный анализ на многообразии необходим, чтобы построить дифференциальную геометрию. В виде тензорных полей, и формул над ними, выражаются понятия и факты геометрии многообразия, вычисляются все интересующие вещи.

И дальше, именно на языке тензорного анализа формулируется физическая теория поля. Уравнение Максвелла $\dfrac{\partial}{\partial x^\mu}F^{\mu\nu}=4\pi j^\nu,$ уравнение Эйнштейна $R_{\mu\nu}-\tfrac{1}{2}g_{\mu\nu}R=8\pi G\,T_{\mu\nu}$ (производные второго порядка здесь запрятаны в букву $R^\lambda{}_{\mu\nu\rho}$).

[Akom]

Munin большое спасибо за столь развернутый и содержательный ответ, теперь гораздо более целостный образ складывается.

Munin в сообщении #1435676 писал(а):

Можно построить первые примеры тензоров в виде пар, троек, $n$-ок векторов, или векторов с ковекторами, а дальше рассматривать их линейные комбинации.

Munin в сообщении #1435676 писал(а):

Значит, сам геометрический объект - функция $(m,n)$ аргументов, причём полилинейная (линейная по каждому аргументу). И это тоже можно взять за определение. Это интуитивно наиболее непонятный подход, но зато на практике довольно удобный: тензор - это "машинка для вычислений" не важно чего; а если нам нужны компоненты, то мы их можем вытащить, скармливая в качестве аргументов разные базисные векторы.

Да, то же представлял нечто подобное, значит буду пробовать. Еще раз спасибо.