Задача о проценте удачных бросков

[Unmensch]

Здравствуйте!

Помогите, пожалуйста, разобраться с задачей из одного школьного теста:

Цитата:

Вольфганг отрабатывает броски мяча в корзину и после каждого броска считает общий процент попаданий.
Первый раз он промахивается. После следующих n бросков, не все из которых должны быть удачными, он впервые достигает процент попаданий, больший или равный 75%. После этого он промахивается. Затем, после очередных k бросков, все из которых удачные, он впервые достигает процент попаданий, больший или равный 80%.
Определите все пары (n; k), при которых может произойти описанная ситуация.

Это перевод задачи с немецкого, на котором я вроде немного говорю, но не исключено, что что-то не так перевёл, поэтому на всякий случай напишу и в оригинале:

Цитата:

Wolfgang übt Korbleger und berechnet nach jedem Versuch seine Gesamttrefferquote.
Er beginnt mit einem Fehlversuch. Nach weiteren n Versuchen, die nicht alle Treffer sein müssen, hat er erstmals eine Gesamttrefferquote erreicht, die größer oder gleich 75% ist. Dann folgt ein Fehlversuch. Nach weiteren k Versuchen, die alle Treffer sind, ist die Gesamttrefferquote erstmals größer oder gleich 80%.
Bestimme alle Paare (n;k), für die diese Situation eintreten kann.

Затруднение в том, что решений, кажется, бесконечно много и тяжело увидеть между ними какую-то связь.
Пусть q - количество попаданий из n бросков. Причём каждому n соответствует только одно значение q.
Тогда должны выполняться следующие условия:

$0,75 \leqslant \frac{q}{n+1} < 0,8$ (1)
$\frac{q+k}{n+k+2} \geqslant 0,8$ (2)

При этом k - наименьшее целое решение второго неравенства, то есть:
$k = 4n + 8 - 5q$
А из первого:
$q = \left\lceil 0,75n + 0,75\right\rceil$

Тогда:
$k = 4n + 8 - 5\left\lceil 0,75n + 0,75\right\rceil$

Конечно, также надо добавить, что n не может быть меньше 3, а также не может быть равно 5, 6, 9, 10, 14 и ещё некоторому ограниченному количеству значений, при которых у неравенства (1) нет целых решений.


Но всё же это какое-то кривое "решение". Может ли кто-нибудь подсказать, в каком направлении искать решение? Или я что-то не понял в задании?

[EUgeneUS]

Количество промахов может быть любым натуральным и однозначно определяет $n$ и $k$.

[DeBill]

Unmensch
Вы забыли про условие "впервые достигает 0.75"

[Null]

Как можно решить в натуральных числах $0,75 \leqslant \frac{q}{n+1} < 0,8$ Используем метод цепных дробей:
$0,75 \leqslant \frac{q}{n+1} < 0,8$ Обратим
$\frac{4}{3}\geqslant \frac{n+1}{q} > \frac{5}{4}$ Вычтем 1
$\frac{1}{3}\geqslant \frac{n+1-q}{q} > \frac{1}{4}$ Обратим
$3\leqslant \frac{q}{n+1-q} < 4$ Вычтем 3
$0\leqslant \frac{4q-3n-3}{n+1-q} < 1$ Значит последнее это рациональная дробь $\frac{a}{b}$ с $0\le a <b$
Итого $q=3b+a, n+1 =4b+a$ - значит $n+1\in\{4,8,9,12,13,14,16,17,18,19,20 \dots\}$

[mihiv]

При учете условия "впервые достигает 0.75"( и остальных) получается однопараметрическое семейство решений: $n=4m-1, k=m+4, q=3m, (m-$ натуральное число).

[DeBill]

mihiv
Да, большее 1.

[EUgeneUS]

mihiv
У меня получилось так:
$k=m$
Параметр $m$ - это количество промахов, считая первый. Может быть любым натуральным.

DeBill в сообщении #1435459 писал(а):

Да, большее 1.

Почему же? $1$ тоже подходит:
1. Три успешных броска после первого (обязательного) промаха.
2. И еще один бросок.

[Yadryara]

EUgeneUS в сообщении #1435463 писал(а):

Почему же? $1$ тоже подходит:
1. Три успешных броска после первого (обязательного) промаха.
2. И еще один бросок.

Потому что между пунктами 1 и 2 ещё один обязательный промах.

[EUgeneUS]

Yadryara в сообщении #1435467 писал(а):

Потому что между пунктами 1 и 2 ещё один обязательный промах.

Ах да. Прочитал как "не все из которых обязательно будут удачными".

[Null]

$n=8$
$1+1$ промахов
$7$ попаданий
Итого $77,(7)\%$ шанс попаданий
промах
$k=5$ попаданий
Итого $80\%$ шанс попаданий

[mihiv]

Null в сообщении #1435490 писал(а):

$n=8$
$1+1$ промахов
$7$ попаданий
Итого $77,(7)\%$ шанс попаданий
промах
$k=5$ попаданий
Итого $80\%$ шанс попаданий

То есть: $n=8, q=7, k=5$. Тогда действительно $\dfrac {q}{n+1}=0.(7)$, но при этом $\dfrac {q-1}{n}=0.75$, то есть $0.75$ впервые достигнуто раньше.

[Null]

Ну да, в моих обозначениях $\frac{3b+a-1}{4b+a-1}<\frac{3}{4}\Leftrightarrow a<1 \Leftrightarrow a=0 \Leftrightarrow n+1=4b$

[Unmensch]

Спасибо всем, кто ответил! Наконец смог разобраться