Что такое модель (алгебраические структуры)?

[eanmos]

Доброго времени суток всем.

В учебнике моего лектора по дискретной математике написано:

Цитата:

Опр. 3.1. Всюду определенная на множестве $M$ тотальная функция от $n$ аргументов называется $n$-арной ($n$-местной) операцией на $M$.

<…>

Опр. 3.2. Множество с набором определенных на нем операций $A = \langle M; \varphi_1, \ldots, \varphi_m \rangle$, где $\varphi_i \colon\; M^{n_i} \rightarrow M$ называется алгебраической структурой (универсальной алгеброй или просто алгеброй). Здесь $M$ — несущее множество или основа, вектор «арностей» операций $(n_1, n_2, \ldots, n_m)$ — тип алгебры, а упорядоченный набор операций $\Sigma = (\varphi_1, \varphi_2, \ldots, \varphi_m)$ — сигнатура. Таким образом, алгебра есть $\langle M; \Sigma \rangle$.

<…>

Опр. 3.3 Если среди операций алгебры есть как функции, так и отношения, то есть, $\Sigma = \Phi \cup \Gamma$, где $\Phi$ — множество функций, а $\Gamma$ — множество отношений, то $A = \langle M; \Phi, \Gamma \rangle$ называют моделью.

Я не понимаю, как среди операций алгебры могут быть как функции, так и отношения, если операция есть функция по определению 3.1?

Кстати, в Википедии вообще написано, что

Цитата:

Алгебраическая система в универсальной алгебре — множество $G$ (носитель) с заданным на нём набором операций и отношений (сигнатурой). Алгебраическая система с пустым множеством отношений называется алгеброй, а система с пустым множеством операций — моделью.

Алгебраическая система и алгебраическая структура — это одно и то же? Если да, то почему определения разные?

[arseniiv]

Всякие названия встречаются, ничего не поделаешь, у кого какие цели и привычки в языке. В логике например модель теории может быть алгебраической структурой и с операциями, и без них, и с отношениями, и без них — как будет диктовать сигнатура формального языка теории.

Формулировка «среди операций встречаются отношения», конечно, не годится: имеется в виду, что в сигнатуру входят как операции, так и отношения.

-- Чт янв 16, 2020 22:40:34 --

Хотя нет, там хитрее определения дали. В определении операции не говорится ничего про множество значений, и таким образом оно может быть как $M$, так и множеством значений истинности, что сделает её отношением. Правда говорить «операция» в таком смысле — очень смело, я нигде такого не видел.* Хотя дальше всё равно остаётся ошибка: «как функции, так и отношения» — но они все остаются функциями и точности такое описание не добавляет. В общем видимо автор хотел как лучше, а получилось как всегда.

* Операции везде действуют в носитель структуры, если она простая, или может быть в один из носителей, если их несколько, ну или в самом общем случае — в какое-то декартово произведение носителей. Множество значений истинности при этом обычно в таком виде всё равно не представимо, а брать его одним из носителей немного странно.

[eanmos]

arseniiv, а что значит «множество значений истинности»?

[george66]

Универсальная алгебра - это когда только функции и отношение равенства. Группы, кольца и т.п. Моделью исходно называли, когда только отношения. Упорядоченное множество и т.п. Алгебраическая система - когда может быть и то, и другое. Например, упорядоченная группа не является универсальной алгеброй (потому что есть отношение порядка), но является алгебраической системой. Конечно, любую функцию можно воспринимать как отношение, поэтому одних моделей достаточно (но с функциями удобней). Кажется, сейчас обычно говорят "модель" вместо "алгебраическая система", но могу ошибиться, не слежу.

-- 17.01.2020, 21:47 --

А множество значений истинности - это $\{true, false\}$

[Munin]

Кажется, есть и другое употребление слова "модель": "теоретико-множественная структура, наделяющая содержанием формулы и высказывания формальной теории".

https://ru.wikipedia.org/wiki/Теория_моделей

Просто упоминаю, чтобы не было путаницы.

[arseniiv]

Да, это те самые модели, которые в общем случае и с отношениями, и с операциями — для интерпретации предикатных и функциональных символов. И носителей там может быть несколько, если язык многосортный. Правда тут есть деталь: когда смысл придаётся просто языку, эта штука зовётся просто интерпретацией, а моделью она становится лишь если у нас в том языке выбрана какая-то теория — множество утверждений, замкнутых относительно логического следствия, то есть там грубо говоря уже ничего нового не откроешь — и эта интерпретация все утверждения этой теории считает истинными. Например, модель теории, порождаемой аксиомами группы — это собственно группа, а вот язык, допустим с сигнатурой из одной только бинарной операции $*$, имеет куда больше интерпретаций — всевозможные множества с бинарной операцией.

И даже если мы сформулируем аксиомы группы более конструктивно, добавив в язык имя для константы $e$ и имя для унарной операции $x\mapsto x^{-1}$, всё равно у этого языка будет много интерпретаций: можно будет взять любую интерпретацию предыдущего языка с непустым носителем (то есть вообще все кроме одной-единственной!) и размножить их, выбирая в каждой по-разному, кем будет $e$ и как действует $x\mapsto x^{-1}$, потому что никакие аксиомы не сдерживают. Но само по себе понятие интерпретации всё равно полезно.

-- Сб янв 18, 2020 03:39:08 --

Я про то, что логики не могут говорить, что какая-то алгебраическая система — это модель просто так, она обязательно должна быть моделью чего-то. Интерпретацией же она может быть без дополнительных оговорок, потому что сигнатура языка нам известна из неё структурно.

[george66]

Munin в сообщении #1435750 писал(а):

Кажется, есть и другое употребление слова "модель": "теоретико-множественная структура, наделяющая содержанием формулы и высказывания формальной теории".

https://ru.wikipedia.org/wiki/Теория_моделей

Просто упоминаю, чтобы не было путаницы.

Это то же самое. Вообще говоря, нас интересуют множества с заданными на них операциями и отношениями, удовлетворяющими некоторым аксиомам. Теория моделей изучает, что можно сказать об алгебраических системах по виду аксиом, которыми они заданы. Например, все аксиомы группы имеют простой вид - равенство, перед которым стоят кванторы всеобщности, например
$\forall x\forall y\forall z((xy)z=x(yz))$
Из этого следует, что декартово произведение любого числа групп (даже бесконечного) само является группой (с поточечными операциями). То же самое верно для колец по той же причине. А вот произведение полей полем не является, виновата аксиома обратного элемента
$\forall x(x\neq 0\Rightarrow\ldots)$ и так далее.