Докажите её.
С доказательством нету никаких проблем. Проблема не в доказательстве, а в самой гипотезе - она слишком слабая.
А если хотя бы одна точка
![$[m, M]$ $[m, M]$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/4/6/a46b1bb73c99c64c6920deb4dd3b644e82.png)
положительна (отрицательна), что-то можно сказать?
А тогда надо формулировать более сильную гипотезу просто по определению моей гипотезы

А какую - я не знаю. Собственно, с этим вопросом и обратился.
Сформулируйте, пожалуйста, это "наоборот". А то ведь "наоборот" "наобороту" рознь.
Если все точки отрезка
![$[s, S]$ $[s, S]$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/b/1/6b1b53ec57f9274ea8063946a578113582.png)
неположительны (неотрицательны), то найдется неположительная (неотрицательная) точка, принадлежащая отрезку
![$[m, M]$ $[m, M]$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/4/6/a46b1bb73c99c64c6920deb4dd3b644e82.png)
.
На этом уровне здесь не станут за Вас решать задачу -- Вы должны продемонстрировать свои попытки, чтобы другие поняли, где у Вас проблемы с пониманием.
Прежде чем просить кого-то решить задачу, ее надо поставить

Ясно, что

- интеграл с переменным верхним пределом. Сама по себе неплохая функция: она непрерывна, образ домена - отрезок, теорема Барроу с ней напрямую связана и все такое. Но меня интересует, как связаны ее множество значений с отрезком, содержащим множество значений подынтегральной функции

.