Дифференциальный оператор в цилиндрических координатах

[Pulseofmalstrem]

Добрый день, пишу данную тему потому что при исследовании определенной задачи из физики плазмы я столкнулся с чисто математической задачей, состоящей в необходимости записать некоторый вектор в цилиндрических координатах $r, \theta, z$, а потом с удивлением обнаружил, что я достаточно необразованный, чтобы не справиться с этим в два счета.Итак, в процессе работы возникла необходимость в явном виде расписать в цилиндрических координатах следующий оператор:
$(\mathbf{\dot{B}}\cdot\nabla) \mathbf{x}$, где $\dot{B}$ - это некоторый неизвестный вектор (производная от магнитного поля по времени), компоненты которого мы, в конечном итоге, хотим найти, подставив явное выражение для данного оператора в соответствующее уравнение, поэтому в дальнейшем мы их будем просто обозначать буквами $\dot{B_{r}}, \dot{B_{\theta}}, \dot{B_{z}}$, а $\mathbf{x}$ - это радиус-вектор точки, которая вращается вокруг вертикальной оси с постоянной угловой скоростью $\omega_{0}$, которая к счастью для нас известна. Итак, вот как я собственно это все добро расписывал:
$(\mathbf{\dot{B}}\cdot\nabla) \mathbf{x}= (\dot{B_{r}} (\mathbf{e_r}\cdot \nabla) + \dot{B_{\theta}} (\mathbf{e_{\theta}}\cdot \nabla) + \dot{B_{z}} (\mathbf{e_z}\cdot \nabla)) \mathbf_{x}$.
Теперь для полного счастья нам надо правильно в цилиндрических координатах записать вектор $\mathbf{x}$, и вот это неожиданно вызвало у меня недоумение. В векторном виде все это записывается очень просто:
$\mathbf{x} = \mathbf{x_0} + \mathbf{v}t = \mathbf{x_0} + \omega_{0}rt\mathbf{e_{\theta}}$.
Однако нам-то нужна по-компонентная запись, а для нее из вышенаписанного вытекает, что
$\mathbf{x}= r_0 \mathbf{e_r} + (\theta_0+\omega_{0}rt)\mathbf{e_{\theta}}+z_0\mathbf{e_{z}}$,
Однако данная запись очевидно содержит в себе несуразность в том, что касается угловой компоненты, так как там углы складываются с длинами по размерности, что есть абсурд. Возникает вопрос, что я делаю не так, неужели угловая часть интересующего меня вектора должна записываться в виде
$(r_0\theta_0+\omega_{0}rt)\mathbf{e_{\theta}}$
Чувствую себя полным идиотом...

[warlock66613]

Pulseofmalstrem, а у радиус-вектора может быть ненулевая $\theta$-компонента? Чтобы разобраться, попробуйте сделать рисунок с радиус-вектором, ортами и т. д.

В целом, проблема ваша в том, что в случае криволинейных координат понятие "радиус-вектора" становится плохим, потому что в криволинейном случае векторы и их координаты - это одно, а точки и их координаты - это совсем другое, и такого простого соответсвия между ними, как в декартовых координатах, нет.

[Pulseofmalstrem]

warlock66613
Я прекрасно понимаю ту мысль, что в цилиндрических координатах радиус-вектор записывается как
$\mathbf{x} = r \mathbf{e_r} + z \mathbf{e_z}$
Однако в таком случае не понятно, как описывать то простое обстоятельство, что в моем случая частица может начинать вращение с произвольной угловой координаты. Можно конечно выписать формулы в таком случае еще более явно:
$\mathbf{x} = r_0 \cos(\theta_0 - \theta)\mathbf{e_r} + (r_0 \sin(\theta_0 - \theta)+ \omega_0 rt)\mathbf{e_{\theta}}+z_0 \mathbf{e_z}$
Но мне это показалось едва ли правильным решением.

[AnatolyBa]

А что такое дифференциальный оператор от чего-то, что не является полем?

[Pulseofmalstrem]

AnatolyBa
Я немного не уточнил, но сама постановка такого вопроса пришла из МГД для вращающейся плазмы, поэтому $\mathbf{x}$ - это разумеется поле радиус-векторов элементарных элементов объема плазмы.

[Munin]

Тогда обратите внимание, что всё вращение этих элементарных объёмов - это зависимость каждого $\mathbf{x}$ от времени.
А вы берёте $\nabla,$ которая имеет компоненты только в виде частных производных по координатам. Так что на зависимость от времени вам просто наплевать. Используйте $\mathbf{x}=r\mathbf{e}_r+z\mathbf{e}_z,$ и не парьтесь.

[pogulyat_vyshel]

Еще, возможно, будет полезным такое замечание.
Если $x(t)=(x^1,\ldots,x^m)(t)$ -- закон движения некоторой точки по многообразию $M$, записанный в локальных координатах, то

$$\frac{d}{dt}\partial_k(x(t))=\Gamma_{kj}^s(x(t))\dot x^j(t)\partial_s (x(t)),$$

здесь $\partial_k(x)\in T_xM$ соответствующий базисный вектор. -- Этот вектор не обязан быть единичным.