Задача по теории колебаний

[Mihr]

Проще всего было сразу разделить обе части уравнения на $f_0$ и не таскать этот множитель. Ну, и в конце нам ни к чему "плюс-минус", ведь резонансная частота - величина положительная. И квадратов под корнем, конечно, остаться не должно. Остальное правильно.
По поводу добротности Вам выше уже пояснили. Что-то ещё пояснять нужно?

[EUgeneUS]

Dr Blue в сообщении #1434737 писал(а):

$\omega_0^4(\rho_1^2-\rho_2^2)=\rho_1^2\rho_2^2(\rho_1^2-\rho_2^2)$

$\omega_0=\pm\sqrt{\rho_1^2\rho_2^2}$

В последней формуле ошибка - размерность $\omega$ д.б. равна размерности $\rho_{1,2}$. Аккуратнее со степенью корня.
Кроме того, нужно учесть, что частоты не бывают отрицательными.

[AnatolyBa]

Вот смотрите. Цепь состоит из активного сопротивления $R$ и реактивного $i(\omega L - \frac{1}{\omega C})$.
Складывается активное и реактивное (чтобы получить модуль импеданса) как корень из суммы квадратов.
Активное сопротивление от частоты не зависит. Реактивное зависит, следовательно для резонанса - для минимума модуля импеданса - условие: реактивное сопротивление равно нулю. Отсюда $\omega_0=\frac{1}{\sqrt{L C}}$
Далее, известно, что для двух разных частот модуль импеданса равен один другому. Как это может быть? А так, что реактивная составляющая для двух этих частот равна по модулю и противоположна по знаку $\rho_1 L - \frac{1}{\rho_1 C}=-\rho_2 L + \frac{1}{\rho_2 C}$. Отсюда сразу $\sqrt{\rho_1 \rho_2} = \omega_0$

[Dr Blue]

Mihr в сообщении #1434739 писал(а):

Ну, и в конце нам ни к чему "плюс-минус", ведь резонансная частота - величина положительная. И квадратов под корнем, конечно, остаться не должно. Остальное правильно.

Не заметил сначала ошибки под корнем, поторопился. Исправил.

Mihr в сообщении #1434739 писал(а):

По поводу добротности Вам выше уже пояснили. Что-то ещё пояснять нужно?

Да, пояснили, но я не понял:

AnatolyBa в сообщении #1434664 писал(а):

Добротность - в конце подставите в формулу, когда у вас будет резонансная частота.

Мне известна формула, как мне кажется, близкая к тому, что в ответе Q=\sqrt{\frac{(n^2-1)\rho_1 \rho_2}{(\rho_1-\rho_2)^2} - \frac{1}{4}}$:

$Q=\frac{\omega_1}{2b}$
$\omega_1=\sqrt{\omega_0^2-b^2}$
$Q=\frac{\sqrt{\omega_0^2-b^2}}{2b}=\sqrt{\frac{\omega_0^2-b^2}{4b^2}}=$

$=\sqrt{\frac{\omega_0^2}{4b^2}-\frac{b^2}{4b^2}}=\sqrt{\frac{\omega_0^2}{4b^2}-\frac{1}{4}}$
Но откуда (n^2-1)= не понимаю.

[Mihr]

Скорее всего, Вы спутали буквы $n$ и $\eta$.
Нужно выразить коэффициент затухания (тот, что у Вас обозначен буквой $b$) через то, что известно в задаче. И подставить вместо $b$ его значение. Тогда, я полагаю, получится как в ответе. А вот чтобы выразить $b$ потребуется условие

Dr Blue в сообщении #1434536 писал(а):

При частотах $\rho_1$ и $\rho_2$ амплитуды тока оказались в $\eta$ раз меньше резонансной амплитуды.

Тут-то $\eta$ и вылезет. Попробуйте.

[Утундрий]

(Оффтоп)

Mihr в сообщении #1434756 писал(а):

Скорее всего, Вы спутали буквы $n$ и $\eta$.

Это ещё хорошо, что нет буквы "это", а то фразу "Эта это не эн" вообще читать было бы невозможно.

[Dr Blue]

Mihr в сообщении #1434756 писал(а):

Нужно выразить коэффициент затухания (тот, что у Вас обозначен буквой $b$) через то, что известно в задаче. И подставить вместо $b$ его значение. Тогда, я полагаю, получится как в ответе. А вот чтобы выразить $b$ потребуется условие

Dr Blue в сообщении #1434536 писал(а):

При частотах $\rho_1$ и $\rho_2$ амплитуды тока оказались в $\eta$ раз меньше резонансной амплитуды.

Тут-то $\eta$ и вылезет. Попробуйте.

Видимо я либо не так что-то делаю, либо не так понял..
$\dfrac{f_0\rho_1}{\sqrt{(\omega_0^2-\rho_1^2)^2+ 4b^2\rho_1^2}}=\dfrac{f_0\rho_2}{\sqrt{(\omega_0^2-\rho_2^2)^2 +4b^2\rho_2^2}}$
Отсюда я должен выразить $b$, однако при преобразованиях $b$ исчезает.

Пытался выразить $\frac{\omega_0^2}{4b^2}$ Попробовал полностью дробь поделить на $2b$, и после выразить, но не вышло..

[DimaM]

Dr Blue в сообщении #1435098 писал(а):

Видимо я либо не так что-то делаю, либо не так понял..
$\dfrac{f_0\rho_1}{\sqrt{(\omega_0^2-\rho_1^2)^2+ 4b^2\rho_1^2}}=\dfrac{f_0\rho_2}{\sqrt{(\omega_0^2-\rho_2^2)^2 +4b^2\rho_2^2}}$

Надо бы продолжить равенство выражением, содержащим резонансную амплитуду и $\eta$.

[Mihr]

Dr Blue,
у Вас есть выражение для силы тока при частоте $\rho_1$:

$I(\rho_1)=\dfrac{f_0\rho_1}{\sqrt{(\omega_0^2-\rho_1^2)^2+ 4b^2\rho_1^2}}$

Получите аналогичное выражение для силы тока $I(\omega_0)$ при резонансе, заменив в предыдущем уравнении символ $\rho_1$ символом $\omega_0$.
А затем воспользуйтесь тем, что, согласно условию,

$I(\rho_1)=\dfrac{I(\omega_0)}{\eta}$

Из полученного таким образом уравнения нетрудно будет выразить коэффициент затухания $b$.
Потом останется воспользоваться тем, что $\omega_0=\sqrt{\rho_1 \rho_2}$ и формулой для добротности.

[Dr Blue]

Mihr в сообщении #1435110 писал(а):

Получите аналогичное выражение для силы тока $I(\omega_0)$ при резонансе, заменив в предыдущем уравнении символ $\rho_1$ символом $\omega_0$. А затем воспользуйтесь тем, что, согласно условию,

$I(\rho_1)=\dfrac{I(\omega_0)}{\eta}$

Заменив $\rho_1$ на $\omega_0$ получил

$I(\omega_0)=\frac{f_0\omega_0}{\sqrt{(\omega_0^2-\omega_0^2)^2+4b^2\omega_0^2}}$

$I(\omega_0)=\frac{f_0\omega_0}{\sqrt{(4b^2\omega_0^2}}$

$I(\omega_0)=\frac{f_0\omega_0}{2b\omega_0}$

$I(\omega_0)\dfrac{f_0\rho_1}{\sqrt{(\omega_0^2-\rho_1^2)^2+ 4b^2\rho_1^2}}=\frac{f_0}{2b}$

И отсюда уже выразить $b$?

Затем, если правильно понял
$\dfrac{f_0\rho_1}{\sqrt{(\omega_0^2-\rho_1^2)^2+ 4b^2\rho_1^2}}=\frac{f_0}{2b}$
$I(\rho_1)=\dfrac{I(\omega_0)}{\eta}$

[Mihr]

Нет, Вы не поняли. Вы получили:

$I(\omega_0)=\dfrac{f_0}{2b}$

$I(\rho_1)=\dfrac{f_0\rho_1}{\sqrt{(\omega_0^2-\rho_1^2)^2+ 4b^2\rho_1^2}}$

Вот эти два значения тока Вы должны подставить в уравнение

$I(\rho_1)=\dfrac{I(\omega_0)}{\eta}$

Подставляйте. Что получилось?

[Dr Blue]

Mihr

$\dfrac{f_0\rho_1}{\sqrt{(\omega_0^2-\rho_1^2)^2+ 4b^2\rho_1^2}}=\frac{\dfrac{f_0}{2b}}{\eta}$


$\frac{\rho_1^2}{(\omega_0^2-\rho_1^2)^2+ 4b^2\rho_1^2}=\frac{\eta^2}{4b^2}$

-- 14.01.2020, 19:24 --

Отсюда я должен выразить $b$, Заменить $\omega_0$ на значение, равное $\sqrt{\rho_1\rho_2}$, и подставить в формулу для добротности $Q=\sqrt{\frac{\omega_0^2}{4b^2}-\frac{1}{4}}$ ?

[Dr Blue]

Видимо опять не так понял, ибо $b$ не выражается, сокращается во время преобразований, и не влияет на знак равенства...

[Mihr]

Dr Blue,
зачем Вы перевернули дробь в правой части равенства? Должно быть так:

$\dfrac{f_0\rho_1}{\sqrt{(\omega_0^2-\rho_1^2)^2+ 4b^2\rho_1^2}}=\dfrac{1}{\eta}\dfrac{f_0}{2b}$

Дальше попробуйте сами.
(Из этого уравнения коэффициент затухания выразить можно, не сомневайтесь).

[Dr Blue]

Mihr

$\dfrac{f_0\rho_1}{\sqrt{(\omega_0^2-\rho_1^2)^2+ 4b^2\rho_1^2}}=\dfrac{1}{\eta}\dfrac{f_0}{2b}$

$2b\eta f_0\rho_1=f_0 \sqrt{(\omega_0^2-\rho_1^2)^2+ 4b^2\rho_1^2}$

$2b\eta\rho_1=\sqrt{(\omega_0^2-\rho_1^2)^2+ 4b^2\rho_1^2}$

$4b^2\eta^2\rho_1^2=(\omega_0^2-\rho_1^2)^2+ 4b^2\rho_1^2$

$4b^2\eta^2\rho_1^2=\omega_0^4-2\omega_0^2\rho_1^2+\rho_1^4+4b^2\rho_1^2$

$4b^2\eta^2\rho_1^2-4b^2\rho_1^2=\omega_0^4-2\omega_0^2\rho_1^2+\rho_1^4$

$4b^2\rho_1^2(\eta^2-1)=(\omega_0^2-\rho_1^2)^2$

$4b^2\rho_1^2=\frac{(\omega_0^2-\rho_1^2)^2}{(\eta^2-1)}$

$b^2=\frac{(\omega_0^2-\rho_1^2)^2}{(\eta^2-1)4\rho_1^2}$

$b=\sqrt{\frac{(\omega_0^2-\rho_1^2)^2}{(\eta^2-1)4\rho_1^2}}$