В диагональном методе Кантора обычно для простоты рассматриваются числа на полуинтервале [0; 1), а сами числа представляются в виде последовательностей нулей и единиц - знаков после запятой в двоичной записи числа.
Сделаем все то же самое, но предположим, что в нашем списке чисел мы записали не все-все вещественные, а все-все
вычислимые числа на этом полуинтервале. И поскольку нам точно известно, что множество вычислимых чисел счетно, мы точно знаем, что в таком списке мы сможем записать все-все вычислимые числа, то есть у каждого вычислимого числа найдется свой конечный порядковый номер.
А теперь к сути поста. Любое число в нашем списке можно вычислить до любой заданной точности с помощью конечного алгоритма, зная лишь его (числа) порядковый номер и желаемую точность. Следовательно, и знаки, стоящие на главной диагонали, можно вычислить с помощью конечного алгоритма до любой заданной точности. А это значит, что число, полученное инверсией главной диагонали, является вычислимым. А это значит, что оно должно присутствовать в нашем списке - ведь множество вычислимых чисел счетно, а значит мы можем записать их всех. Однако диагональный метод утверждает, что число, полученное инверсией главной диагонали, никогда не встретится в нашем списке.
Отсюда напрашивается один из возможных выводов: либо множество вычислимых чисел континуально (но мы-то знаем, что это не так), либо - oh my gosh! - диагональный метод на самом-то деле ничего не доказывает и ничего не опровергает.
Как это все понимать?
