Спектральные подпространства неограниченного оператора

[demolishka]

Пусть $P \colon \mathbb{H} \to \mathbb{H}$ есть ограниченный самосопряженный оператор в гильбертовом пространстве $\mathbb{H}$. Тогда из непрерывного функционального исчисления для самосопряженных операторов можно построить такие ортогональные $P$-инвариантные подпространства $\mathbb{H}^{+} , \mathbb{H}^{-}, \mathbb{H}^{0}$, что $\mathbb{H} = \mathbb{H}^{+} \oplus \mathbb{H}^{-} \oplus \mathbb{H}^{0}$ и $P>0$ на $\mathbb{H}^{+}$, $P<0$ на $\mathbb{H}^{-}$ и $\mathbb{H}^{0} = \operatorname{Ker}(P)$.

Существует ли аналог такого разложения для неограниченных самосопряженных операторов $P \colon \mathcal{D}(P) \to \mathbb{H}$? Понятно, что для какого-нибудь Лапласа со сдвинутым спектром типа $\Delta + \lambda I$ бывают такие разложения. Но хочется общий случай (без предположения какой-либо компактности, гарантирующей дискретность спектра). Знаю, что для таких операторов можно построить непрерывное (даже борелевское) исчисление, но пока еще с ним не разбирался. Дает ли оно положительный ответ на вопрос?

[g______d]

demolishka в сообщении #1434807 писал(а):

Дает ли оно положительный ответ на вопрос?

Да. Обозначим через $f,g,h$ соответственно индикаторные функции подмножеств $(-\infty,0)$, $\{0\}$, $(0,+\infty)$. Тогда $f(P)$, $g(P)$, $h(P)$ будут ортогональными проекторами на соответствующие подпространства.

Нужно именно борелевское исчисление, которое следует из спектральной теоремы для неограниченных самосопряжённых операторов. В принципе, эти функции можно аппроксимировать непрерывными или даже гладкими функциями в сильной операторной топологии, но без спектральной теоремы в том или ином виде сложно доказать, что они дадут то что нужно.

[demolishka]

g______d, спасибо.