Двумерное подмногообразие банахова пространства

[demolishka]

Рассмотрим банаховы пространства $\mathbb{E}_{1}$ и $\mathbb{E}_{0}$, причем $\mathbb{E}_{1}$ непрерывно вложено в $\mathbb{E}_{0}$ (например, $\mathbb{E}_{0}$ это $L_{2}(0,1)$, а $\mathbb{E}_{1}$ это $C([0,1])$. Будем отождествлять элементы $\mathbb{E}_{1}$ и их образы при указанном вложении. Пусть $\mathfrak{A} \subset \mathbb{E}_{0}$ есть некоторое подмножество, которое в топологии $\mathbb{E}_{0}$ гомеоморфно $\mathbb{R}^{2}$. Предположим, что на самом деле $\mathfrak{A}$ состоит из "функций получше" в смысле $\mathfrak{A} \subset \mathbb{E}_{1}$. Верно ли, что в топологии $\mathbb{E}_{1}$ (более грубой) множество $\mathfrak{A}$ тоже гомеоморфно $\mathbb{R}^{2}$?

Для случая, когда $\mathfrak{A}$ это двумерная плоскость утверждение очевидно верно. Что будет в указанном общем случае - не знаю.

[g______d]

Вроде нет. Существует непрерывная кривая в $L^2$, каждая точка которой лежит в $C$, но не являющаяся непрерывной кривой в $C$. Что-нибудь типа
$$ f_t(x)=\max\{1-x/t,0\}$, $t\in (0,1], $$
продолженная в нуль по $L^2$ непрерывности. Её образ будет гомеоморфен интервалу в $L^2$, но в индуцированной из $C$ топологии он не будет даже связным. Понятно, что можно распространить и на вложение $\mathbb R^2$.

[demolishka]

g______d, большое спасибо.

[Padawan]

demolishka в сообщении #1433914 писал(а):

Верно ли, что в топологии $\mathbb{E}_{1}$ (более грубой)

Наоборот, в $E_1$ более тонкая топология, непрерывное вложение (уплотнение) - это огрубление топологии.