Разложение в ряд Фурье

[Norma]

Рассмотрим базис:
${\frac{1}{\sqrt2},\cos(x), \sin(x),...,\cos(nx),\sin(nx)...}$

Коэффициенты ряда Фурье:
$c_n=(g,f_n)= \frac{1}{\pi} \int_0^{2\pi}g(x) f_n(x)dx$

Тогда

$c_0=(g,f_0)= \frac{1}{\pi} \int_0^{2\pi}g(x) \frac{1}{\sqrt2} dx=\frac{1}{\sqrt2}\frac{1}{\pi} \int_0^{2\pi}g(x) dx=\frac{1}{\sqrt2} a_0$

Тогда ряд Фурье будет иметь вид: $c_0\frac{1}{\sqrt2} +\sum a_n \cos(nx) + b_n \sin(nx)=\frac{a_0}{2} + \sum a_n \cos(nx) + b_n \sin(nx)$

Верно ли такое рассуждение? В одном месте почему-то написано, что первый член ряда Фурье в этом базисе - это $\frac{a_0}{\sqrt2}$, а не $\frac{a_0}{2}$

[Lia]

Norma в сообщении #1433700 писал(а):

Верно ли такое рассуждение? В одном месте почему-то написано, что первый член ряда Фурье в этом базисе - это $\frac{a_0}{\sqrt2}$, а не $\frac{a_0}{2}$

Это не имеет значения. Разница в выборе ортогонального базиса нивелируется за счет коэффициента.
Если правильно его считать :)

[Aritaborian]

Norma в сообщении #1433700 писал(а):

В одном месте почему-то написано

Видимо, кто-то на заборе с похмелья после празднования Нового года написал. Это я к тому, что неплохо бы источники приводить.

[Norma]

Lia
Но у меня же правильно написано?) И еще такой вопрос: я же правильно понимаю, что базис $1,...,\cos(nx),\sin(nx),..$ не является ортонормированным?

[Lia]

Norma
А норма :) какая?
Давайте учиться определять, чтобы каждый раз не спрашивать.
Оно-то не тяжело, но базисов можно придумать кучу, что же, про каждый спрашивать, какой он?

[vpb]

Norma в сообщении #1433721 писал(а):

я же правильно понимаю, что базис $1,...,\cos(nx),\sin(nx),..$ не является ортонормированным?

Да, относительно указанного скалярного произведения
($(f,g)=\frac1\pi\int_0^{2\pi} f(x)g(x)\,dx$) не является. А тот, который в стартовом сообщении --- является.

-- 07.01.2020, 00:44 --

Полезное чтение (это литературное указание было для другого человека подготовлено, но может и вам пойдет): Фихтенгольц трехтомник (издание, скажем, 1969 г. или позже), третий том, пункты 677, 678, 679 не мелким шрифтом, 687, 688, 689, 695 не мелким. доказательство теоремы Дирихле: 681, 682, 683, 685, 686 (половина).