Единичный квадрат на плоскости и вписанная в него окружность

[scwec]

На плоскости дан единичный квадрат.
Возьмем любую точку вписанной в него окружности (кроме четырех точек касания со сторонами квадрата).
Докажите, что из четырех расстояний от точки до вершин квадрата только одно расстояние может иметь рациональную длину.

[nnosipov]

Будем рассуждать от противного. Пусть вершины квадрата суть $(0,0)$, $(1,0)$, $(1,1)$, $(0,1)$, а точка имеет координаты $(x,y)$. Тогда $(x-1/2)^2+(y-1/2)^2=1/4$ и либо 1) $x^2+y^2=a^2$ и $(x-1)^2+y^2=b^2$, либо 2) $x^2+y^2=a^2$ и $(x-1)^2+(y-1)^2=b^2$, где в обоих случаях $a$, $b$ --- некоторые рациональные числа. Исключив $x$ и $y$, в случае 1) получим

$$5-12b^2+8b^4-12a^2+8a^4=0,\eqno(*)$$

а в случае 2) --- даже $3/2=a^2+b^2$. Последнее равенство в рациональных числах $a$, $b$ невозможно. Что касается равенства $(*)$, то с помощью Maple находим рациональную параметризацию окружности

$$a^2=\frac{320+32t+t^2}{256+4t^2}, \quad b^2=\frac{5t^2+32t+64}{256+4t^2}$$

(это не эстетично, я понимаю, но руками делать пока лень). Второе из этих равенств задает эллиптическую кривую, форма Вейерштрасса которой (полученная опять же с помощью Maple) имеет вид $v^2=u^3-S^2u$, где число $S$ является точным квадратом. Стало быть, нетривиальных решений в рациональных числах нет.

Спасибо за еще одну задачу на тему "конгруэнтные числа", обязательно пополню свою коллекцию.

[scwec]

Да, именно такой ход решения и имелся в виду.
Предлагаю доказать также, что на всех концентрических (с вписанной в единичный квадрат) окружностях с радиусами $r=\frac{p}{q}$ и $r=\frac{p}{2q}$,
где $p,q$ - произвольные целые нечетные числа и $\gcd(p,q)=1$, не имеется точек с более чем двумя рациональными расстояниями до вершин единичного квадрата.

[scwec]

Пожалуй, на концентрических окружностях с любыми рациональными радиусами
нет точек с более чем двумя рациональными расстояниями до вершин единичного квадрата. Это тяжелый вариант (у меня нет примеров).
Хотя множество точек на плоскости с тремя рациональными расстояниями до вершин единичного квадрата всюду плотно на плоскости (из теоремы Берри).

[nnosipov]

scwec в сообщении #1432954 писал(а):

Это тяжелый вариант

Охотно верю. Вот еще один пример, который ставит меня в тупик:

Дан равносторонний треугольник и квадрат на плоскости. Доказать, что расстояние между хотя бы одной парой вершин (одна --- квадрата, вторая --- треугольника) иррационально.

Это задача 7 а) из 22-го вып. "Математического просвещения", 2018. Подписано как "фольклор". Но этот московский фольклор мне совсем неизвестен. А Вам? Кстати, 7 б) совершенно банальная задача, которую мы здесь когда-то разбирали.

[scwec]

"Математическое просвещение" 1958
Познакомился с математикой. Увел книжку из библиотеки Дома учителя Алапаевска.
7б) - это классика, уравнение $y^2=x^3+6x^2+x$
Что касается 7a), тут надо разбираться. Что за фольклор?

[nnosipov]

scwec в сообщении #1433007 писал(а):

Что за фольклор?

Автора у задачи нет, слово "фольклор" вместо него. Но мне этот фольклор точно неизвестен. Как-то Канель-Белов (он сейчас заведует "Задачником" в МП), будучи у нас в Красноярске, сообщил мне, что у этой задачи есть решение, но детали выяснять времени уже не было. Так я до сих пор и не знаю, как эта задача решается.

[scwec]

Фольклорная задача имеет элементарное решение.
Пусть длина стороны квадрата равна $a$, вершины квадрата в некоторых декартовых координатах $x,y$ пусть $(0,0),(a,0),(a,a),(0,a)$.
Вершины равностороннего треугольника в координатах $x,y$ пусть $(x_1,y_1),(x_2,y_2),(x_3,y_3)$.
Без потери общности $x_3=\dfrac{x_2+x_1+\sqrt{3}{y_1}-\sqrt{3}{y_2}}{2}, y_3=\dfrac{\sqrt{3}{x_2}-\sqrt{3}{x_1}+y_2+y_1}{2}$
(Есть еще одно вершина для второго треугольника с вершинами $(x_1,y_1), (x_2,y_2)$, но с ней все аналогично).
Система уравнений для расстояний от произвольной точки плоскости до вершин нашего квадрата выглядит так:
$x^2+y^2=z^2, x^2+y^2 -2ay+a^2=u^2, y^2+x^2-2ax+a^2=v^2$,
$x^2+y^2-2ax-2ay+2a^2=w^2$.
Предположим, что $z,u,v,w$ все рациональны. Тогда рациональны и $-2ax+a^2, -2ay+a^2$, а также и $a(x-y)$
Подставляем вместо $x,y$ величины $x_1,y_1,x_2,y_2,x_3,y_3$ (предполагая, что все расстояния от трех вершин треугольника до 4 вершин квадрата рациональны.
Получаем, что все величины $a(x_i-x_j)$, а также $a(x_i-y_j), a(y_i-y_j)$ рациональны $(i,j=1,2,3)$.
Однако $a(x_3-y_3)=\dfrac{(1+\sqrt{3})a(x_1-y_2-2x_2+2y_1+\sqrt{3}(x_2-y_1))}{2}$
Обозначив $R_1=a(x_1-y_2)+2a(y_1-x_2)$ - рациональное число
и $R_2=a(x_2-y_1)$ - рациональное число, получаем, что $a(x_3-y_3)=\dfrac{R_1+3R_2+(R_1+R_2)\sqrt{3}}{2}$ - число иррациональное (дополнительное сообщение с правками по этому поводу внесено ниже).

[nnosipov]

scwec
Спасибо, завтра разберу. На первый взгляд все как-то просто.

[DeBill]

scwec в сообщении #1433254 писал(а):

получаем, что

число $R_1+R_2$ равно 0....

nnosipov в сообщении #1433103 писал(а):

Как-то Канель-Белов (он сейчас заведует "Задачником" в МП), будучи у нас в Красноярске,

Как-то Канель-Белов, будучи у нас , презентовал мне (распечатанную на АЦПУ!) подборку задач (193 штуки) - совершенно замечательных. Я по ней с многими детьми занимался, там чуть не каждая задача - тема отдельного занятия (я ее пропагандировал под названием "Монстры Белова"). Задача про квадрат и треугольник - оттуда, под номером 103.
Вот еще одна - оттуда же, нумеро 64: дан квадрат с вершинами в точках "плюс-минус один". Есть ли на оси иксов точка, расстояния от которой до всех вершин квадрата рациональны?

[nnosipov]

DeBill в сообщении #1433306 писал(а):

Задача про квадрат и треугольник - оттуда, под номером 103.

Видел я этот файл, но надо бы актуализировать (поискать в компьютере). Давненько дело было.

DeBill в сообщении #1433306 писал(а):

Вот еще одна - оттуда же, нумеро 64: дан квадрат с вершинами в точках "плюс-минус один". Есть ли на оси иксов точка, расстояния от которой до всех вершин квадрата рациональны?

Так это и есть в точности задача 7 б). Но у меня ощущение, что эту задачу Вы когда-то здесь на форуме опубликовали, и я ее с тех пор и помню.

[Shadow]

DeBill в сообщении #1433306 писал(а):

Вот еще одна - оттуда же, нумеро 64: дан квадрат с вершинами в точках "плюс-минус один". Есть ли на оси иксов точка, расстояния от которой до всех вершин квадрата рациональны?

Если я правильно понял условие "на оси иксов", как "на абсциссе" - Теорема 3.1 - один из "хороших" частных случаев проблемы Штейнгауза.

[scwec]

DeBill в сообщении #1433306 писал(а):

scwec в сообщении #1433254
писал(а):
получаем, что число $R_1+R_2$ равно 0....

Да уж, "удачно" я выбрал разницу $x_3-y_3$.
Обходится это просто.
Рассмотрим 2 случая.
1. $x_1=x_2$. Тогда $y_1\ne{y_2}$
$a(x_3-x_2)=\dfrac{\sqrt{3}a(y_1-y_2)}{2}$ - число иррациональное, а должно быть рациональным, поскольку $-2a{x_3}+a^2$ и $-2a{x_2}+a^2$ рациональны.
2. $x_1\ne{x_2}$.
$a(y_3-x_1)=\dfrac{\sqrt{3}(x_2-x_1)+a(y_2-x_1)+a(y_1-x_1)}{2}$ число иррациональное, а должно быть рациональным по аналогичным указанным выше причинам.
Теперь c фольклорной задачей вроде порядок.
Что касается задачи 7б, то это действительно достаточно упоминаемый частный случай проблемы Штейнгауза, что и отметил Shadow.
Выше я упоминал, что она сводится к эллиптической кривой $y^2=x^3+6x^2+x$

[svv]

A. Ya. Kanel-Belov. Сборник задач-монстров по математике
Задачи, о которых говорил DeBill, имеют в этой версии номера 104 и 65.

[DeBill]

svv
Ооо! Спасибо! Наконец то я вижу это в печатном варианте!
А то: одна очень хорошая девочка, с которой я когда то занимался - Маша Замешина - набрала этот текст в ТЕХе, так что у меня то это есть. Но использовался он только в узком кругу, ибо не я есть автор. Но теперь - available..