Неравенство на тему неравенств Коши, Йенсена

[Pafnuty]

Помогите доказать неравенство:
$\frac{1}{1+x_1}+\dots+\frac{1}{1+x_n}\geqslant\frac{n}{1+\sqrt[n]{x_1\dots x_n}}, x_i\geqslant1, n\geqslant2$

Я сначала думал, что все просто. Преобразовываем в вид:

$1+\sqrt[n]{x_1\dots x_n}\geqslant\frac{n}{\frac{1}{1+x_1}+\dots+\frac{1}{1+x_n}}$

Справа - среднее гармоническое. Меняем его на большее - на среднее арифметическое. Получаем:

$\sqrt[n]{x_1\dots x_n}\geqslant\frac{x_1+\dots+x_n}{n}$

что неверно. Просто среднее арифметическое оказалось намного больше среднего гармонического, чем нам нужно. Прочие аналогичные попытки тоже ни к чему не привели.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Олимпиадные задачи (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- отсутствуют собственные содержательные попытки решения задачи.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[--mS--]

Я с иксами как-то не очень, мне проще с матожиданиями. Пусть $\mathsf P(X=x_i)=\frac1n$, $i=1,\ldots,n$.
Тогда

$$ \frac{1}{n}\left(\frac{1}{1+x_1}+\ldots+\frac{1}{1+x_n}\right)=\mathsf E \frac{1}{1+X} = \mathsf E \frac{1}{1+e^{\ln X}} \geq \frac{1}{1+e^{\mathsf E \ln X}} = $$ $$ =\frac{1}{1+e^{\frac1n(\ln x_1+\ldots+\ln x_n)}} = \frac{1}{1+\sqrt[n]{x_1\cdot\ldots\cdot x_n}}. $$

Неравенство посредине - потому как функция $\frac{1}{1+e^t}$ выпукла (вниз) на положительной полуоси.

[Pafnuty]

--mS-- в сообщении #1433124 писал(а):

Я с иксами как-то не очень, мне проще с матожиданиями. Пусть $\mathsf P(X=x_i)=\frac1n$, $i=1,\ldots,n$.
Тогда

$$ \frac{1}{n}\left(\frac{1}{1+x_1}+\ldots+\frac{1}{1+x_n}\right)=\mathsf E \frac{1}{1+X} = \mathsf E \frac{1}{1+e^{\ln X}} \geq \frac{1}{1+e^{\mathsf E \ln X}} = $$ $$ =\frac{1}{1+e^{\frac1n(\ln x_1+\ldots+\ln x_n)}} = \frac{1}{1+\sqrt[n]{x_1\cdot\ldots\cdot x_n}}. $$

Неравенство посредине - потому как функция $\frac{1}{1+e^t}$ выпукла (вниз) на положительной полуоси.

Спасибо!

[Sicker]

--mS--
А где в вашем решении что икс не меньше единицы?

[Otta]

Sicker в сообщении #1433144 писал(а):

А где в вашем решении что икс не меньше единицы?

--mS-- в сообщении #1433124 писал(а):

Неравенство посредине - потому как функция $\frac{1}{1+e^t}$ выпукла (вниз) на положительной полуоси.

[Sicker]

--mS--
Otta
А, понятно :) Т.е. нам все равно надо догадаться, что эта функция выпукла.
Я сам решал через метод множителей Лагранжа, и у меня вышло еще ослабленное условие - только корень в правой части должен быть больше или равен единице, а икс больше или равен нулю

-- 03.01.2020, 12:06 --

Otta
--mS--
Я короче обобщил на случай смещения общего вида $x+\alpha$, тогда $x \geq \alpha^2$

[deep blue]

Sicker в сообщении #1433205 писал(а):

Я короче обобщил на случай смещения общего вида $x+\alpha$, тогда $x \geq \alpha^2$

в случае смещения общего вида должно выполняться:
$\frac{1}{a+x_1}+\frac{1}{a+x_2} \ge \frac{2}{a+\sqrt{x_1x_2}}$
умножая это на ${a} >0$ и обозначая $\frac{x_i}{a}=y_i$ получаем уже известное
$\frac{1}{1+y_1}+\frac{1}{1+y_2} \ge \frac{2}{1+\sqrt{y_1y_2}}$
которое выполняется при $y_i\ge1$
Так что $x \geq \alpha$ а не $x \geq \alpha^2$

[Sicker]

deep blue
Ой, я у себя забыл квадрат учесть
Теперь ответ сошелся с вашим

[Sicker]

deep blue
А что насчет моего ослабленного условия?

[mihiv]

Sicker в сообщении #1433205 писал(а):

ослабленное условие - только корень в правой части должен быть больше или равен единице, а икс больше или равен нулю

Это условие недостаточно, как было показано в одном из обсуждений на форуме. Там приведен пример, при $n=3, x_1=x_2=N,x_3=\frac 1{N^2}.$
Тогда левая часть равна $\frac 2{1+N}+\frac 1{1+\frac 1{N^2}}$ и стремится к 1 с ростом $N$, а правая часть равна $\frac 32$.

[Sicker]

mihiv
Хм, точно, если у нас есть локальный минимум и куча седловых точек, ничего сказать нельзя
А что за форум и обсуждение?

[mihiv]

Sicker
Здесь на $dxdy$ доказывали это же неравенство не очень давно.

[--mS--]

О, баян из баянов, оказывается: topic124508.html и topic125223.html