Вывод формул абсолютной и относительной погрешности частного

[Yarodlav]

Здравствуйте, формучане! Нужна помощь в элементарном примере.

Я сделал вывод формулы для вычисления абсолютной погрешности расчета произведения следующим образом:
$M=pV$
$M+\Delta M=(p+\Delta p)(V+\Delta V)$
Следовательно
$\Delta M=pV+p\Delta V+\Delta pV+\Delta p\Delta V-pV$
Или, при сокращении первого и последнего члена и пренебрежении (ввиду малости) четвертым, получим что
$\Delta M=p\Delta V+\Delta pV$
А для вычисления относительной погрешности
$\Delta M/M=\Delta V/V+\Delta p/p$

При этом везде написано, что для вычисления относительной погрешности для частного типа $p/V$ формула расчета относительной погрешности аналогична таковой при умножении.
Но я никак не могу её вывести (и не могу найти, как её выводили). Подскажите, как выводится формула, что получается
$\delta (p/V)=\Delta V/V+\Delta p/p$

[Lia]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:


- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);


Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

!! каждая формула должна начинаться со знака доллара, заканчиваться им и не содержать их в середине.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

-- 31.12.2019, 15:18 --

Вы не учитываете (или, по крайней мере, не упоминаете) то, что абсолютная погрешность по определению - величина неотрицательная, причем это максимальная оценка. Приведенный вывод верен при соответствующем неявном предположении, но более честным была бы запись с модулями и их аккуратным раскрытием.

А так... обозначьте частное какой-нибудь буквой (например, $z=p/V$) и запишите относительную погрешность $p$ через относительные погрешности $z$ и $V$, а потом подумайте, что должно произойти со знаками в полученном выражении с учетом замечания из предыдущего абзаца.

[Евгений Машеров]

Снимите чайник с плиты, вылейте воду и погасите огонь!
Знаменатель по формуле суммы геометрической прогрессии и отбросить второй порядок малости. Сведя к уже решённой.

[ewert]

Нет, не надо геометрической прогрессии, это не комильфо. Надо просто (тут очень недавно проскальзывало -- brukvalub, кажется) оценить неконтролируемую часть знаменателя снизу. Ну а потом (это уж вдобивку) -- сколь угодно снизу.

Хотя всё это, конечно, жульничество. Надо просто интуитивно понимать дифференциалы. И что характерно -- это жульнически-интуитивное понимание на практике прокатывает.

[Евгений Машеров]

Ну, не уверен, что совсем уж не комильфо. Скажем, школьнику я бы как раз через прогрессию и объяснял бы. Благо с ней знакомят "до дифференциалов".
$(\frac{M+\Delta M}{V+\Delta V}-\frac M V )/\frac M V=\frac{1+\Delta M/M}{1+\Delta V/V}-1$
Затем бы вспомнил, что нас интересует максимальная ошибка, так что знаки при отклонениях для максимального отклонения надо брать противоположные (тут надо аккуратно пояснить, где отклонение со знаком, а где абсолютная величина, может, поменять обозначения)
$\delta\frac M V=\frac{1+\Delta M/M}{1-\Delta V/V}-1=(1+\Delta M/M)(1+\Delta V/V+(\Delta V/V)^2+(\Delta V/V)^3+(\Delta V/V)^4+\cdots)-1$
Раскрываем скобки, полагаем пренебрежимо малыми члены второй и более высокой степени, приводим подобные.
$$\delta\frac M V\approx \frac {\Delta M} M+\frac {\Delta V} V$

[Sicker]

Евгений Машеров
Я бы просто домножил знаменатель на выражение с плюсом, и отбросил бесконечно малую второго порядка