Как соотносятся матожидание и корень из дисперсии

[Juicer]

Пусть X и Y - независимые случайные величины с одинаковым распределением. Как соотносятся $\mathbb { E}|X - Y| \text{ и } \sqrt {2 \mathbb{D} X}$?
Можем ли мы из равенства распределений просто получить $\mathbb { E}|X - Y| = \mathbb { E}|X - X|=\mathbb { E}0 = 0?$
Тогда $\sqrt {2 \mathbb{D} X} \geq 0 = \mathbb { E}|X - Y|.$
Или тут нужен другой подход и нужно применить формулу свёртки, чтобы найти плотность разности, а потом посчитать интеграл?

[mihaild]

Juicer в сообщении #1432363 писал(а):

Можем ли мы из равенства распределений просто получить $\mathbb { E}|X - Y| = \mathbb { E}|X - X|=\mathbb { E}0 = 0?$

Нет конечно. $\mathbb E f(X, Y) = f(\mathbb X, \mathbb Y)$ для любых независимых $X$ и $Y$ только если $f$ имеет вид $a + bx + cy + dxy$.

[svv]

Juicer в сообщении #1432363 писал(а):

Можем ли мы из равенства распределений просто получить $\mathbb { E}|X - Y| = \mathbb { E}|X - X|=\mathbb { E}0 = 0?$

Там же модуль, $\mathbb E|X - Y| =0$, неформально говоря, означает, что $X=Y$ всегда или почти всегда. Конечно, так будет только в исключительных случаях.

[Otta]

Juicer в сообщении #1432363 писал(а):

Можем ли мы из равенства распределений просто получить $\mathbb { E}|X - Y| = \mathbb { E}|X - X|=\mathbb { E}0 = 0?$

Равенство распределений не есть равенство случайных величин. Случайные величины-то независимы. Так что $Y$ c $X$ не совпадает ни в коем случае.

[Juicer]

Otta в сообщении #1432434 писал(а):

Равенство распределений не есть равенство случайных величин.

Пока что точно понятно, что у X и Y одинаковые значения матожиданий (из равенства распределений)

[Otta]

Juicer в сообщении #1432435 писал(а):

Пока что точно понятно, что у X и Y одинаковые значения матожиданий (из равенства распределений)

Ну вот и добавьте-вычтите его внутри модуля. Получится разность двух центрированных с.в. Для них можно сперва использовать нер-во треугольника.
А потом оценку на матожидание с.в. через матожидание ее квадрата. Как раз дисперсии и полезут.

[Juicer]

Otta в сообщении #1432437 писал(а):

Ну вот и добавьте-вычтите его внутри модуля.

Тэкс.
Получилось: $ \mathbb{E} |X - Y| = \mathbb{E} \big|X - Y + \mathbb{E}X - \mathbb{E}X \big| \overset{\mathbb{E}X = \mathbb{E}Y}{=} $ $ \mathbb{E}|X - \mathbb{E}X - Y + \mathbb{E}Y| = \mathbb{E}|(X - \mathbb{E}X) - (Y - \mathbb{E}Y)| \overset{\text{правило треугольника} } {\leq}$ $ \overset{\text{правило треугольника} } {\leq} \mathbb{E}|X - \mathbb{E}X| + \mathbb{E}|Y - \mathbb{E}Y| \leq \sqrt{\mathbb{E}(X - \mathbb{E}X)^2} + \sqrt{\mathbb{E}(Y - \mathbb{E}Y)^2} $ $= \sqrt{\mathbb{D}X} - \sqrt{\mathbb{D}Y} \overset{\mathbb{E}X^2 = \mathbb{E}Y^2}{=} 2\sqrt{\mathbb{D}X} = \sqrt2 \sqrt{2 \mathbb{D}X}.$
Правильно?
UPD: знаки поправил

[Someone]

Juicer в сообщении #1432472 писал(а):

Получилось: $ \mathbb{E} |X - Y| = \mathbb{E} \big|X - Y + \mathbb{E}X - \mathbb{E}X \big| \overset{\mathbb{E}X = \mathbb{E}Y}{=} $ $ \mathbb{E}|X + \mathbb{E}X - Y - \mathbb{E}Y| = \mathbb{E}|(X + \mathbb{E}X) - (Y + \mathbb{E}Y)| \overset{\text{правило треугольника} } {\leq}$ $ \overset{\text{правило треугольника} } {\leq} \mathbb{E}|X + \mathbb{E}X| + \mathbb{E}|Y + \mathbb{E}Y| \leq \sqrt{\mathbb{E}(X + \mathbb{E}X)^2} + \sqrt{\mathbb{E}(Y + \mathbb{E}Y)^2} $ $= \sqrt{\mathbb{D}X} + \sqrt{\mathbb{D}Y} \overset{\mathbb{E}X^2 = \mathbb{E}Y^2}{=} 2\sqrt{\mathbb{D}X} = \sqrt2 \sqrt{2 \mathbb{D}X}.$
Правильно?

Нет. Вам советовали получить под знаком модуля центрированные случайные величины. А Вы что получили?

И с каких пор $\mathbb{E}(Y + \mathbb{E}Y)^2=\mathbb{D}Y$?

[Juicer]

Someone в сообщении #1432473 писал(а):

Вам советовали получить под знаком модуля центрированные случайные величины.

Но ведь $\mathbb{E}|X - medX| \leq \mathbb{E}|X - \mathbb{E}X|$
Насчёт второго: знаки перепутал, сейчас исправлю

[Someone]

Добавление. Советую длинные формулы разбивать на части.

Juicer в сообщении #1432474 писал(а):

Но ведь $\mathbb{E}|X - medX| \leq \mathbb{E}|X - \mathbb{E}X|$

А где Вы там у себя такое увидели? И что такое $medX$?

[Juicer]

Someone в сообщении #1432475 писал(а):

И что такое $medX$?

Это медиана распределения $ X $

[Someone]

А откуда там взялась медиана?

[--mS--]

Juicer в сообщении #1432472 писал(а):

$$\mathbb{E}|X - \mathbb{E}X| + \mathbb{E}|Y - \mathbb{E}Y| \leq \sqrt{\mathbb{E}(X - \mathbb{E}X)^2} + \sqrt{\mathbb{E}(Y - \mathbb{E}Y)^2} $$

Что мешает это же неравенство применить к исходному модулю?

[Juicer]

Someone в сообщении #1432478 писал(а):

А откуда там взялась медиана?

$1. medX = medY$

$$\mathbb{E}|X - Y| = \mathbb{E}|X - medX - Y + medX| = \mathbb{E}|(X - medX) - (Y - medX)| \leq \mathbb{E}|X - medX| + \mathbb{E}|Y - medY|$$

$$-\text{центрировали случайные величины, теперь} \leq \mathbb{E}|X - \mathbb{E}X| + \mathbb{E}|Y - \mathbb{E}Y|$$

-- 29.12.2019, 03:55 --

--mS-- в сообщении #1432480 писал(а):

Что мешает это же неравенство применить к исходному модулю?

Да, собственно, ничего, но тогда: $\mathbb{E}|X - Y| \leq \mathbb{E}X + \mathbb{E}Y \leq \sqrt{\mathbb{E}X^2} + \sqrt{\mathbb{E}Y^2} = 2\sqrt{\mathbb{E}X^2}$ и дальше не понятно, что делать.
Если только не: $2\sqrt{\mathbb{E}X^2}= \sqrt{4\mathbb{E}X^2},$ что будет заведомо больше $\sqrt{2\mathbb{E}X^2 - 2(\mathbb{E}X)^2} =\sqrt{2\mathbb{D}X} $

[Otta]

Juicer
1) Что такое центрированная с.в.?
2) Чему равна дисперсия, по определению?
3) Зачем Вы все время вспоминаете медиану?

Juicer в сообщении #1432472 писал(а):

Получилось:

$$ \mathbb{E} |X - Y| = \mathbb{E} \big|X - Y + \mathbb{E}X - \mathbb{E}X \big| = \mathbb{E}|X - \mathbb{E}X - Y + \mathbb{E}Y| = \mathbb{E}|(X - \mathbb{E}X) - (Y - \mathbb{E}Y)| \le $$

Правильно?

Не надо здесь "правило треугольника".
Сделайте вот так:

--mS-- в сообщении #1432480 писал(а):

Что мешает это же неравенство применить к исходному модулю?