Группа симметрии куба

[rancid_rot]

Почему порядок группы симметрии куба равен 48?
Имеем 9 плоскостей симметрии, 3 оси через центры граней (умножить на 3 возможных угла вращения), 4 диагонали (по 2 угла вращения), 6 осей через середины ребер (поворот только на пи). Получаем 32 преобразования. Если добавить еще и повороты на 2п (или на 0), будет 45, что, очевидно, даже не подгоняется под ответ.

P.S. Простите, что поднимаю такую заезженную тему.

[Xaositect]

Есть еще композиции поворота и отражения - повороты вокруг диагонали на $\pi/3$ с отражением относительно перпендикулярной плоскости и повороты вокруг оси четвертого порядка с отражением относительно перпендикулярной ей плоскости.

[svv]

Нас интересуют преобразования, переводящие вершины куба в вершины и сохраняющие расстояния между ними. Чтобы выяснить, сколько их, выберем одну из вершин куба, $A$, и две смежных ей, $B$ и $C$. Теперь надо подсчитать, сколько имеется способов выбрать образы этих вершин $A',B',C'$ (каждый выбор задаёт преобразование).

В качестве $A'$ можно выбрать любую из $8$ вершин.
Когда $A'$ выбрана, в качестве $B'$ можно выбрать любую из $3$ вершин, смежных с $A'$.
Когда $A',B'$ выбраны, в качестве $C'$ можно выбрать любую из $2$ вершин, смежных с $A'$ и не совпадающих с $B'$.
Когда $A', B', C'$ выбраны, образы всех остальных вершин определены однозначно.

$8\cdot 3\cdot 2=48$

[rancid_rot]

svv в сообщении #1432080 писал(а):

Нас интересуют преобразования, переводящие вершины куба в вершины и сохраняющие расстояния между ними. Чтобы выяснить, сколько их, выберем одну из вершин куба, $A$, и две смежных ей, $B$ и $C$. Теперь надо подсчитать, сколько имеется способов выбрать образы этих вершин $A',B',C'$ (каждый выбор задаёт преобразование).

В качестве $A'$ можно выбрать любую из $8$ вершин.
Когда $A'$ выбрана, в качестве $B'$ можно выбрать любую из $3$ вершин, смежных с $A'$.
Когда $A',B'$ выбраны, в качестве $C'$ можно выбрать любую из $2$ вершин, смежных с $A'$ и не совпадающих с $B'$.
Когда $A', B', C'$ выбраны, образы всех остальных вершин определены однозначно.

$8\cdot 3\cdot 2=48$

То есть элементом группы считается преобразование, дающее уникальный результат? И не важно, как он был получен? Просто считаем число способов разместить исходный куб?

[svv]

Ага! Полезно иметь в виду и такой подход.
Если, скажем, какое-то преобразование не сводится к одному простому и понятному преобразованию симметрии (или мы просто затрудняемся его указать), но представимо в виде композиции таких преобразований, оно ведь тоже является законным элементом группы.

[Eule_A]

rancid_rot в сообщении #1432082 писал(а):

Просто считаем число способов разместить исходный куб?

Фактически используется довольно простая теорема. О ней можно прочитать в "Курсе алгебры" Винберга. Параграф называется "Разбиение на смежные классы".

[rancid_rot]

svv в сообщении #1432083 писал(а):

Ага! Полезно иметь в виду и такой подход.

Большое спасибо.

-- 26.12.2019, 21:20 --

Eule_A в сообщении #1432084 писал(а):

rancid_rot в сообщении #1432082 писал(а):

Просто считаем число способов разместить исходный куб?

Фактически используется довольно простая теорема. О ней можно прочитать в "Курсе алгебры" Винберга. Параграф называется "Разбиение на смежные классы".

Вы хотите сказать, что раз длина орбиты равна 48, то должно быть 48 смежных классов и, как минимум, столько же элементов группы симметрии?

[Eule_A]

rancid_rot в сообщении #1432092 писал(а):

Вы хотите сказать, что раз длина орбиты равна 48, то должно быть 48 смежных классов и, как минимум, столько же элементов группы симметрии?

А Вы книгу открывали?
Фактически там речь идёт о том же, о чём сказал svv. Только несколько подробнее.

[Munin]

Советую две статьи про эту группу на Вики:

https://en.wikipedia.org/wiki/Octahedral_symmetry
https://en.wikiversity.org/wiki/Full_octahedral_group
(нумерация элементов в них одна и та же)

в том числе, элементы, подгруппы, и всякая прочая вкуснятина.

[sour]

rancid_rot
Вообще любое движение пространства однозначно задается тем, куда оно переводит 4 точки, не лежащие на одной плоскости. Можно выбрать 4 вершины куба, не лежащие в одной плоскости, и посчитать, что в другие вершины их можно перевести не более чем 48ю различными способами. Дальше можно построить эпиморфизм из группы изометрий куба в группу перестановок 4х элементов, значит изометрий у куба не меньше $4! = 24$. Затем можно обнаружить, что в нейтральный элемент $\mathfrak S_4$ будет переведено минимум 2 изометрии куба, значит число изометрий не меньше $2 \cdot 24 = 48$. Следовательно их будет действительно 48.