2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Экстремали функционала - 2
Сообщение25.12.2019, 20:36 


23/12/19
28
Добрый день, есть такое задание:

Найдите экстремали следующих функционалов: $J(y)=\int_{0}^{2}y\sqrt{1+y'^2}dx ; $y(0)=1, y(2)=3$
Мои шаги решения:
1) Функция $F=y\sqrt{y'}$ зависит только от $y, y'$ и не зависит от $x$, поэтому интеграл уравнения Эйлера будет выглядеть так:
$F-y'F'_{y'}=C$
2) Найдем производную $F'_{y'}$.
$F'_{y'}=(y\sqrt{1+y'^2})'=y(\sqrt{1+y'^2})'=y\frac{y'}{\sqrt{1+y'^2}}$
3) Подставим найденное значение в интеграл уравнения Эйлера(1):
$y\sqrt{1+y'^2}-y'y\frac{y'}{\sqrt{1+y'^2}}=C$
4) И вот тут я не знаю как дальше сокращать и вынести $y'$ из под корня, получается только:
$y\sqrt{1+y'^2}-y\frac{y'^2}{\sqrt{1+y'^2}}=C$
Или решением будет поделить обе части на $y$ и интегрировать как есть, т.е.?
$\sqrt{1+y'^2}-\frac{y'^2}{\sqrt{1+y'^2}}=\frac{C}{y}$

-- 25.12.2019, 21:51 --

Попробовал замену $\sqrt{1+y'^2}=t$, тогда $y'=t^2-1$
Получаем: $-\frac{1}{t^2}=\frac{C}{y}$
Так можно вообще делать?

 Профиль  
                  
 
 Re: Экстремали функционала
Сообщение25.12.2019, 20:52 
Аватара пользователя


11/12/16
13195
уездный город Н
Приведите к общему знаменателю и вычтите, будет лучше.
И дальше двигайтесь к диффуру с разделяющимися переменными.

-- 25.12.2019, 20:55 --

Azusa_Nakano в сообщении #1431919 писал(а):
Получаем: $-\frac{1}{t^2}=\frac{C}{y}$
Так можно вообще делать?

Так делать нельзя, ибо у Вас опять проблема со знаком.

 Профиль  
                  
 
 Re: Экстремали функционала
Сообщение25.12.2019, 21:09 


23/12/19
28
EUgeneUS в сообщении #1431923 писал(а):
Приведите к общему знаменателю и вычтите, будет лучше

Привел, но тут и вычитать особо нечего и не из чего, даже если скобки раскрыть:
$\frac{y(1+y'^2)-y'^2-C{\sqrt{1+y'^2}}}{y\sqrt{1+y'^2}}=0 $

 Профиль  
                  
 
 Re: Экстремали функционала
Сообщение25.12.2019, 21:38 
Аватара пользователя


11/12/16
13195
уездный город Н
Вы издеваетесь?

Вот это возьмите:
Azusa_Nakano в сообщении #1431919 писал(а):
$\sqrt{1+y'^2}-\frac{y'^2}{\sqrt{1+y'^2}}=\frac{C}{y}$


И приведите к общему знаменателю то, что слева.
Аккуратно

 Профиль  
                  
 
 Re: Экстремали функционала
Сообщение25.12.2019, 21:53 


23/12/19
28
$\frac{1}{\sqrt{1+y'^2}}=\frac{C}{y}$
А от корня как избавляться, если домножать то он все равно появится?

 Профиль  
                  
 
 Re: Экстремали функционала
Сообщение25.12.2019, 22:03 
Аватара пользователя


11/12/16
13195
уездный город Н
Сейчас-то какие проблемы от корня избавиться?
Можно и в квадрат возвести, знаете ли.

 Профиль  
                  
 
 Re: Экстремали функционала
Сообщение25.12.2019, 22:05 


20/03/14
12041
 !  Azusa_Nakano
Замечание за вытягивание решения по действиям.


Голова своя должна быть.

 Профиль  
                  
 
 Re: Экстремали функционала - 2
Сообщение25.12.2019, 22:53 


23/12/19
28
$\frac{1}{1+y'^2}=\frac{C^2}{y^2}$
Отсюда:
$y'^2=\frac{y^2}{C_1}-1$
И тогда:
$\frac{dy}{dx}=\sqrt{\frac{y^2}{C_1}-1}$
$dy=\sqrt{\frac{y^2}{C_1}-1}dx$
Но меня смущает что производная справа получается $dx$, хотя под корнем $y$:

upd: Повторюсь, непонятен именно этот момент: $dy=\sqrt{\frac{y^2}{C_1}-1}dx$, а именно правая часть: по таблице первообразных корень и всё, что под ним можно считать за константу, так как мы интегрируем правую часть по $dx$, а в правой части из переменных только $y$
В итоге часть уравнения справа выглядит как: $\sqrt{\frac{y^2}{C_1}-1}$ (считаем константой и выносим вперед) + $1dx=x+C_3$
Т.е. :$y+C_2=(x+C_3)\sqrt{\frac{y^2}{C_1}-1}$
Максимум, до которого я смог это сократить: $\frac{y}{\sqrt{\frac{y^2}{C_1}-1}}=x+C_4$ где $C_4=C_3-C_2$

upd2: А можно ли не возводить в квадрат?
$\frac{1}{\sqrt{1+y'^2}}=\frac{C}{y}$
То есть привести обе части к общему знаменателю:
$\frac{y}{\sqrt{1+y'^2}}=\frac{C \sqrt{1+y'^2}}{y}$
Отбросить знаменатель, приняв условие что $y\neq0$
Получится:
$y=C\sqrt{1+y^2}$
Сделать замену
$p=\frac{dy}{dx}$
Тогда:
$dy=pdx=C\frac{pdp}{\sqrt{1+p^2}}$
$pdx=C\frac{pdp}{\sqrt{1+p^2}}$
Сокращаем $p$ и интегрируем обе части:
$\int dx = \int C\frac{dp}{\sqrt{1+p^2}}$
Получим:
$x+C_1=С \ln|p+\sqrt{p^2+1}|$
Перенесем $C_1$:
$x=C\ln|p+\sqrt{p^2+1}|-C_1$
И получить ответ в общем виде:
$\begin{cases}
   x(p)=C\ln|p+\sqrt{p^2+1}|-C_1, 
   \\
   y(p)=C\sqrt{1+y^2}.
 \end{cases}$
(Но я не понял как теперь избавиться от $p$)

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение25.12.2019, 22:59 


20/03/14
12041
 i  Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- дорешайте, потом спросите.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

 Профиль  
                  
 
 Re: Экстремали функционала - 2
Сообщение13.01.2020, 11:16 


20/03/14
12041
Azusa_Nakano
Уберите зачеркивание в первой части поста, нечитабельно. И изложите все так, чтобы можно было понять.
Azusa_Nakano в сообщении #1431956 писал(а):
Получится:
$y=C\sqrt{1+y^2}$

Вот откуда оно получится?

Лучше первый способ реализуйте, он проще. Я очень опасаюсь, что через второй Вы не продеретесь.

 Профиль  
                  
 
 Re: Экстремали функционала - 2
Сообщение15.01.2020, 23:18 
Заслуженный участник


12/07/07
4438
 i  Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

Azusa_Nakano в сообщении #1431956 писал(а):
$dy=\sqrt{\frac{y^2}{C_1}-1}dx$
Но меня смущает
Как Вам и написали выше, это уравнение с разделяющимися переменными. Откройте учебник по Обыкновенным дифференциальным уравнениям и найдите соответствующую тему.

 Профиль  
                  
 
 Re: Экстремали функционала - 2
Сообщение16.01.2020, 04:07 


23/12/19
28
GAA в сообщении #1435401 писал(а):
Как Вам и написали выше, это уравнение с разделяющимися переменными. Откройте учебник по Обыкновенным дифференциальным уравнениям и найдите соответствующую тему.

Нарешал такое:
1) $dy=\sqrt{\frac{y^2}{C_1}-1}dx$
2) заменим для простоты $D=\frac{1}{C_1}$
3) получаем
$dy=\sqrt{Dy^2-1}dx$
4) делим обе части на $\sqrt{Dy^2-1}$
$\frac{dy}{\sqrt{Dy^2-1}}=dx$, с условием что $Dy^2\neq 0$
5) интегрируем обе части:
$\int\frac{dy}{\sqrt{Dy^2-1}}=\int dx$
6) используем табличные интегралы ("длинный" логарифм и интеграл $\int dx$)
$\ln|y+\sqrt{Dy^2-1}|+C_2=x+C_3$
7) обозначим $C_2-C_3=C_4$
$\ln|y+\sqrt{Dy^2-1}|+C_4=x$
Как переписать данное уравнение чтобы выразить $y$ не знаю, но можно попробовать решить и так.
1) Подставим значения $y(x)$ которые были в условии(см. пост 1) и получим систему:
$\begin{cases}
   \ln|-3+\sqrt{D(-3)^2-1}|+C_4=2, 
   \\
   \ln|-1+\sqrt{D(1)^2-1}|+C_4=0.
 \end{cases}$
2) Вычтем первое из второго:
$\ln|-3+\sqrt{D(-3)^2-1}|-\ln|-1+\sqrt{D(1)^2-1}|=2$
3) Тогда по свойству о разности логарифмов с одинаковым основанием:
$\ln|\frac{-3+\sqrt{D(-3)^2-1}}{-1+\sqrt{D(1)^2-1}}|=2$
4) И получится...
$\frac{-3+\sqrt{D(-3)^2-1}}{-1+\sqrt{D(1)^2-1}}=e^2$
И тут наверное можно выразить $D$, но что-то подсказывает что я делаю что-то не то

 Профиль  
                  
 
 Re: Экстремали функционала - 2
Сообщение16.01.2020, 08:57 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13435
с Территории
Я не верю, что Вы никогда не слышали о цепной линии. Решение известно 300+ лет. Вот к нему и притягивайте.

 Профиль  
                  
 
 Re: Экстремали функционала - 2
Сообщение16.01.2020, 18:35 


23/12/19
28
ИСН в сообщении #1435427 писал(а):
Я не верю, что Вы никогда не слышали о цепной линии. Решение известно 300+ лет. Вот к нему и притягивайте.

Не слышал про такое.
Я пытаюсь решить его как уравнение с разделяющимися переменными

 Профиль  
                  
 
 Re: Экстремали функционала - 2
Сообщение16.01.2020, 20:26 
Заслуженный участник


09/05/12
25179
Azusa_Nakano в сообщении #1435477 писал(а):
Не слышал про такое.
Это вам вообще-то фактически ответ написали. Неужели трудно хотя бы погуглить? :facepalm:

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 23 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group