Теория упругости и колебания упругих тел.

[eugrita]

В разделе какой дисциплины рассматриваются аналитические модели колебаний упругих тел?
Вопрос собственно вызван тем, что в известных автору курсах сопромата задачи динамики
и колебаний упругих тел не рассматриваются. В то же время просто в википедии читаем
"Тео́рия упру́гости — раздел механики сплошных сред, изучающий деформации упругих твёрдых тел, их поведение при статических и динамических нагрузках".
в книге Тимошенко "Колебания в инженерном деле" рассматриваются аналитические модели колебаний как стержней так и пластин
Сопромат, являющийся инженерным наследником теории упругости, тем не менее уклоняется от рассмотрения динамических задач. В курсах есть раздел устойчивости стержня под действием продольных статических нагрузок (т.н. продольный изгиб,уравнение Эйлера и обобщения) но это нельзя считать задачами динамики.
Тем не менее колебания систем с распределенными параметрами рассматриваются например, в МАИ (Зайцев В.Н. Колебания механических систем с распределенными параметрами).
Наверное правильным ответом о том в каких курсах рассматриваются был бы ответ -
В курсе Уравнения Математической физики. Но ее предмет более обширен, и видимо часто
реальные курсы чтобы успеть по охвату вопрос о колебаниях сокращают или вовсе убирают.
Мне интересен вытекающий из этого вопрос, в каком ВУЗе и в каком курсе наиболее полно изложены теория колебаний стержней (как продольных так и изгибных), включая вопросы удара?
а)Теория упругости? б)Теория колебаний? в)Уравнения математической физики?

[eugrita]

Классическая теория изгиба балок -теория Эйлера — Бернулли использует гипотезу плоских сечений (Бернулли): сечения балки, плоские и нормальные к оси до деформации, остаются после деформации плоскими и нормальными к изогнутой оси балки.
теория изгиба по Тимошенко (модифицированная гипотеза Бернулли): , что сечения, бывшие до деформации плоскими и нормальными к оси балки, остаются плоскими, но перестают быть нормальными к изогнутой оси. Т е учет деформации сдвига
-----------------------------------------------------------------------------------------------------
Хотя как мы знаем из механики и принципа Даламбера задачи динамики с силами инерции могут быть сведены к задаче статики и Даламберовой силы инерции
Сила инерции в поперечных колебаниях балок без учета поворота сечений имеет вид
$a=-m \cdot \frac{\partial^2 y}{\partial t^2}$
где $m$ масса на единицу длины
откуда в для классической теории получаем уравнение свободных колебаний с учетом инерции
$m\frac{\partial^2 y}{\partial t^2}+EI\frac{\partial^4 y}{\partial x^4}=0$
Для теории изгиба по Тимошенко получается с учетом сил инерции вращения сечений т.н. уравнение Тимошенко (приводится в форме для свободных колебаний при отсутствии нагрузок кроме инерционных )
$m\frac{\partial^2 y}{\partial t^2}+EI\frac{\partial^4 y}{\partial x^4} -(\rho I +\frac{EIm}{kAG})\frac{\partial^4 y}{\partial x^2 \cdot \partial t^2}+\frac{mI}{kAG}\frac{\partial^4 y}{\partial x^4}=0$
В теоретической механике задачи на статику рассматриваются в расширенном смысле как статика с учетом сил инерции. В случае упругих тел почему-то этого нет, по крайней мере в сопромате

[eugrita]

К сожалению так и не нашел хорошей литературы где были бы выписаны
формы колебаний $Y_i(x)$ и общий вид динамических перемещений
$y(x,t)=\sum{Y_i (x) \cdot T_i (t)}$ для разных видов закреплений стержня
в виде удобном для моделирования
Есть для шарнирно опертого $Y_i(x)=D_i \sin(\alpha_i x)$ где $\alpha_i =\frac{\pi ix}{L}$
$y(x,t)=\sum{(M_i \cos p_i t +N_i \sin p_i t) \cdot \sin(\alpha_i x)}$
где $p_i=a \cdot \alpha_i ^2$

[Munin]

eugrita в сообщении #1431860 писал(а):

откуда в для классической теории получаем уравнение свободных колебаний с учетом инерции
$m\frac{\partial^2 y}{\partial t^2}+EI\frac{\partial^4 y}{\partial x^4}=0$
Для теории изгиба по Тимошенко получается с учетом сил инерции вращения сечений т.н. уравнение Тимошенко (приводится в форме для свободных колебаний при отсутствии нагрузок кроме инерционных )
$m\frac{\partial^2 y}{\partial t^2}+EI\frac{\partial^4 y}{\partial x^4} -(\rho I +\frac{EIm}{kAG})\frac{\partial^4 y}{\partial x^2 \cdot \partial t^2}+\frac{mI}{kAG}\frac{\partial^4 y}{\partial x^4}=0$

А метод Фурье эти уравнения не берёт? (Для постоянных коэффициентов.)

[pogulyat_vyshel]

eugrita в сообщении #1431860 писал(а):

Хотя как мы знаем из механики и принципа Даламбера задачи динамики с силами инерции могут быть сведены к задаче статики и Даламберовой силы инерции

широко растиражированная глупость

[eugrita]

Munin в сообщении #1431880 писал(а):

eugrita в сообщении #1431860 писал(а):

откуда в для классической теории получаем уравнение свободных колебаний с учетом инерции
$m\frac{\partial^2 y}{\partial t^2}+EI\frac{\partial^4 y}{\partial x^4}=0$
Для теории изгиба по Тимошенко получается с учетом сил инерции вращения сечений т.н. уравнение Тимошенко (приводится в форме для свободных колебаний при отсутствии нагрузок кроме инерционных )
$m\frac{\partial^2 y}{\partial t^2}+EI\frac{\partial^4 y}{\partial x^4} -(\rho I +\frac{EIm}{kAG})\frac{\partial^4 y}{\partial x^2 \cdot \partial t^2}+\frac{mI}{kAG}\frac{\partial^4 y}{\partial x^4}=0$

А метод Фурье эти уравнения не берёт? (Для постоянных коэффициентов.)

берет точно стандартные уравнения, а насчет уравнений Тимошенко не знаю .Судя по тому как они записаны для стержней с постоянными по длине характеристиками видимо можно

[Red_Herring]

Munin в сообщении #1431880 писал(а):

А метод Фурье эти уравнения не берёт? (Для постоянных коэффициентов.)

Благодаря тому что по $t$ есть производные либо 2-го либо 0-го порядков (и никаких других), переменные разделятся, несмотря на наличие смешанных производных. Поэтому сразу стоит искать решения вида $u(x,t)=X(x)e^{ikt}$, и для $X$ получается уравнение 4-го порядка

В то же время для уравнения пластины $\Delta^2 u=0$ из-за наличия смешанной производной разделения не будет:
$X^{IV}Y+ 2X''Y''+XY^{IV}=0$ и аналогично в полярных координатах. Это не означает, что все обязательно плохо: при периодических (например по $x$ в декартовых координатах или по $\theta$ в полярных) можно просто искать решение в виде рядов Фурье по соответствующим переменным. Но при других граничных условиях я не знаю как.

[Munin]

Red_Herring
Спасибо!

[eugrita]

Вынужден публично извиниться за некоторую неоправданную категоричность исходного текста.
1)тезис "Сопротивление материалов - задачи статики".
Конечно по большому счету не так.
Вот мнение акад Ю.Работнова "Вопросы динамики, включая теорию упругих колебаний, действие ударных и импульсивных нагрузок и начальные сведения о распространении волн, также являются, на взгляд автора, необходимой частью современного курса сопротивления материалов"
Темы вопросов о колебаниях стержней и вообще упругих тел входят в специальность динамика и прочность машин Есть такие курсы как Колебания и динамическая прочность, Акустическая динамика машин
2)Конечно задачи об изгибных и продольных колебаниях стержня изучались и есть наподобие сопромата т.н. техническая теория (в которой продольные и поперечные колебания независимы). Есть модели где рассмотрены колебания с демпфированием. Также есть попытки применения метода конечных элементов.
3)На мой взгляд уравнение поперечных и продольных колебаний стержней переменного сечения может даваться даже не для магистров на курсе вычислительной математики или информатики так, как скажем в МГСУ была включена в практикум задача об расчете устойчивости ( частот и форм) сжатого стержня переменного сечения. Моделирование бегущих волн довольно увлекательная задача.
Практикумы по математической физике часто предлагают написать аналитическое решение задачи. Удачным примером таковой является как мне кажется, Задача 115 из Лебедев, Скальская Сборник Задач по математической физике - задача об поперечном точечном ударе заданного импульса по стержню