Замкнутость множества

[thething]

Здравствуйте! Попалась такая задача: исследовать замкнутость, ограниченность и предкомпактность множества $M=\left\{x\in c_0:\exists f\in L_1[0,1]\;\|f\|\leq1,\;\forall k\in\mathbb{N}\;\;x(k)=\displaystyle\int\limits_{2^{-k}}^{2\cdot2^{-k}}f(t)dt\right\}$. С ограниченностью и предкомпактностью проблем не возникло. А вот замкнутость не понимаю, в какую сторону смотреть. Интуитивно кажется, что нет её, но контрпример не строится. А может, интуиция вообще подводит, но тогда надо как-то координаты предельной точки в виде таких интегралов представлять, что при данном условии на норму в $L_1$ кажется проблематичным. Буду благодарен за любой совет.

[DeBill]

thething в сообщении #1431516 писал(а):

с предкомпактностью проблем не возникло.

В том смысле, что нет ее, да?
А вот если бы отображение $f \mapsto x$было не в цэ-ноль, а в эль-один: что было бы образом?
Ну, и можно посмотреть на это с такой точки зрения: является ли единичный шар из $l_1$ замкнутым в $c_0$?
Вроде бы, проходит естественная оценка последовательности частичных сумм для предельной последовательности...

[thething]

DeBill в сообщении #1431528 писал(а):

В том смысле, что нет ее, да?

Ага.

DeBill в сообщении #1431528 писал(а):

А вот если бы отображение $f \mapsto x$было не в цэ-ноль, а в эль-один: что было бы образом?
Ну, и можно посмотреть на это с такой точки зрения: является ли единичный шар из $l_1$ замкнутым в $c_0$?
Вроде бы, проходит естественная оценка последовательности частичных сумм для предельной последовательности...

Это всё мне надо переварить. Пока по последнему кажется так: если $x_n$ лежит в единичном шаре $l_1$ и $x_n\to x_0$ в $c_0$, то $\sum\limits_{k=1}^{N}|\xi_k^0|\leq\sum\limits_{k=1}^{N}|\xi_k^0-\xi_k^n|+\sum\limits_{k=1}^{N}|\xi_k^n|\leq N\varepsilon+1$. Но что отсюда следует?

[DeBill]

thething в сообщении #1431554 писал(а):

Но что отсюда следует?

И это верно при всех $\varepsilon>0$....

[thething]

DeBill
Меня смутило там наличие $N$. Потом дошло, что оно у нас произвольное, но фиксированное..

Но, честно говоря, зачем рассматривать этот шар, я так и не уловил.

[vpb]

thething в сообщении #1431655 писал(а):

Но, честно говоря, зачем рассматривать этот шар, я так и не уловил.

Э... довольно очевидно, что последовательность возникает из функции (с указанными условиями) в точности тогда, когда она лежит в этом шаре.

[thething]

vpb
Для меня очевидно только в одну сторону: что $M$ (рассматривамое в $l_1$) содержится в единичном шаре $l_1$. А почему должно быть именно совпадение такого $M$ с тем шаром -- не понимаю. Но недоумение было не об этом, а о том, что нам даёт замкнутость шара из $l_1$ в пространстве $c_0$. Или тут вообще всё прозрачно? Хотя, видимо, да: если показать, что $M$ совпало с единичным шаром в $l_1$, то замкнутость и получится.

[pogulyat_vyshel]

я так понимаю, что если в качестве $f$ правильно выбирать ступенчатые функции то как раз весь единичный шар в $\ell_1$ и накроется

[thething]

Получилось по элементу шара построить элемент множества $M$. Всем спасибо за советы.

Есть ещё практически такая же задача, только теперь нормы $f$ рассматриваются в пространстве $L_2$. Тут я вроде сделал, но не уверен. Я рассуждал так: если взять последовательность $x_n\to x_0$ в $c_0$, $x_n\in M$ и рассмотреть соответствующую последовательность $f_n\in L_2$, то она будет ограничена. При этом исходное множество $\{\|f\|\leq1\}$ замкнуто и выпукло, а потому слабо замкнуто. В силу рефлексивности у $f_n$ найдётся слабо сходящаяся подпоследовательность и это позволяет сделать вывод о том, что координаты $x_0$ имеют то же интегральное представление, что и координаты $x_n$.

Собственно, не является ли это чересчур сложным рассуждением? Или, может, тут где-то вообще ошибка, а я не вижу?

[pogulyat_vyshel]

По поводу задачи стартового поста: $(c_0)'=\ell_1$. Замкнутый шар пространства $\ell_1$ компактен в *-слабой топологии. Видимо, отсюда должна следовать замкнутость множества $M$ в $c_0$.