Типовая задача на получения дисперсионных характеристик для одномерной цепочки атомов с одинаковыми массами и жесткостью, но присутствует один атом другой массы (примесь). Ниже показан рисунок:

Все жесткости равны, отличается только одна масса одного атома.
Вообще задача простая для одинаковых атомов, или для атомов двух типов в одной постоянной решетки.
Как решать такую задачу понять не смог.
Записал систему закона Ньютона для двух масс (массы большого атома

и левого от него

):

Где

это жесткости пружин (связи), а

это амплитуда сдвига соответствующего атома.
Буду искать решение в виде двух волн:

Видно, что:

Тогда подставим это в исходную систему:

Где

- это постоянная решетки. В обоих уравнениях некоторые сдвиги последующих атомов были представлены сдвигами данных атомов, домноженных на вектор решетки

Теперь подставим искомые решения в последнюю систему вместо

, в ходе упрощений сократим все на множитель

, получим систему:

Данную систему нужно решить относительно амплитуд

, в ходе чего удастся получить закон дисперсии

.
Однако мое решение получилось слишком громоздким, полагаю, что ошибка была в изначальных рассуждениях. Может постоянная решетки

была выбрана неверно? Или системы уравнений были записаны не для тех атомов (но очевидно, что в одном уравнении должна быть амплитуда атома большой массы, а в другом уравнении - малой массы).
Если бы у нас чередовались атомы двух разных масс, то постоянная решетки была бы

, но здесь же считается что у нас простая цепочка с постоянной

, в которой находится дефект. Поэтому кажется что

- правильное значение.
Прошу помочь разобраться, подсказать, как правильно составить систему которую и нужно решить. Возможно, нужно сделать какое-то допущение. Если правильно составить исходную систему, дальше дело останется только за математикой.
Заранее спасибо.