Существование уровня в асимметричный квантовой яме

[LifeDeath]

Имеется такая квантовая яма:



Вопрос стоит такой: при каком минимальном значении потенциала $U_1$ в яме появится уровень. (Ибо известно, что если $U_1$ будет меньше некоторого значения, уровней в яме не будет вообще).
Мой ход решения был такой - попытался найти волновую функцию во всех трех областях. Связав ее в точке 0 и в точке W.
Уравнение Шредингера и его решение в виде падающей волны в области меньше нуля:

$-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2\Psi+(U_1 - E)\Psi = 0$

\Psi_1 = A_1 e^{\beta_1x}



Для области от 0 до W:

$-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2\Psi = E\Psi$

\Psi_2 = A_2 e^{ikx} + B_2 e^{-ikx}



Для области больше W:

$-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2\Psi+(U_2 - E)\Psi = 0$

\Psi_1 = A_3 e^{-\beta_2x}


Теперь приравняем решения и их первые производные в точке 0:
\begin{equation*} \begin{cases} A_1 e^{\beta_1x} = A_2 e^{ikx} + B_2 e^{-ikx} \\ \beta_1 A_1 e^{\beta_1x} = ikA_2 e^{ikx} - ikB_2 e^{-ikx} \end{cases} \end{equation*}

После подстановки нуля, получим:
\begin{equation*} \begin{cases} A_1 = A_2 + B_2 \\ \beta_1 A_1 = ikA_2 - ikB_2 \end{cases} \end{equation*}

Приравняем решения и их первые производные в точке W:
\begin{equation*} \begin{cases} A_2 e^{ikx} + B_2 e^{-ikx} = A_3 e^{-\beta_2x} \\ ikA_2 e^{ikx} - ikB_2 e^{-ikx} = -\beta_2 A_3 e^{-\beta_2x} \end{cases} \end{equation*}

Подставив вместо икса W, получим:
\begin{equation*} \begin{cases} A_2 e^{ikW} + B_2 e^{-ikW} = A_3 e^{-\beta_2W} \\ ikA_2 e^{ikW} - ikB_2 e^{-ikW} = -\beta_2 A_3 e^{-\beta_2W} \end{cases} \end{equation*}

В итоге имеем систему из четырех уравнений:
\begin{equation*} \begin{cases} A_1 = A_2 + B_2 \\ \beta_1 A_1 = ikA_2 - ikB_2 \\ A_2 e^{ikW} + B_2 e^{-ikW} = A_3 e^{-\beta_2W} \\ ikA_2 e^{ikW} - ikB_2 e^{-ikW} = -\beta_2 A_3 e^{-\beta_2W} \end{cases} \end{equation*}

Это были простые вычисления. Как считать дальше - не могу понять. Видимо нужно сделать какое-то предположение, из которого получится условие существования уровня.
Пытаясь разобраться, читал учебное пособие, страница 26. Там приводится формула:

$\frac{k^2 - \beta_1 \beta_2}{k(\beta_1 + \beta_2)}$ = \ctg(kW)

Однако я не могу понять, как эта формула выводится из той системы четырех уравнений. Буквально следующим шагом они приводят выражение:
$n < \frac{WG_2 + \arcsin(\sqrt{\frac{U_2}{U_1}})}{\pi} +0.5 < n + 1$

Видимо это и есть выражение для условия существования одного уровня, хотя я не совсем понимаю, как, смотря на это уравнение, можно судить о возможности или невозможности существования уровня.
Вопрос такой: как используя ту систему из четырех уравнений прийти к последней формуле? Какие допущения или предположения необходимо сделать? Какие математические тонкости?

[amon]

А кто такие $\beta_1$ и $\beta_2$?

[warlock66613]

Если надо найти уровни - почему бы и не искать уровни ($H \psi = E \psi$), зачем какие-то падающие волны?

[LifeDeath]

amon в сообщении #1431620 писал(а):

А кто такие $\beta_1$ и $\beta_2$?

Это волновые числа, перед которыми нет мнимой единицы. То есть решение волны в действительных числах.

$\beta_1 = \frac{\sqrt{2m(U_1- E})}{\hbar}$

$\beta_2 = \frac{\sqrt{2m(U_2 - E})}{\hbar}$

-- 23.12.2019, 20:39 --

warlock66613 в сообщении #1431623 писал(а):

Если надо найти уровни - почему бы и не искать уровни ($H \psi = E \psi$), зачем какие-то падающие волны?

Я просто только начал изучать квантовую механику на примере квантовых ям и барьеров, многое еще непонятно. А ведь в задании нужно определить условие наличия уровня?

[madschumacher]

LifeDeath в сообщении #1431618 писал(а):

Теперь приравняем решения и их первые производные в точке 0:

Сразу вопрос: а почему первые производные на границах областей приравнивать? Там же разрывный потенциал, следовательно и первые производные будут не непрерывные.

[amon]

LifeDeath в сообщении #1431625 писал(а):

Это волновые числа

Замечательно. А что будет, если $E>U_1$?

[madschumacher]

Во-вторых, +1 к warlock66613, если уж изучать КМ нормально, то и начинать надо с уравнения Шрёдингера, а не с интерпретации его решений.

[amon]

madschumacher в сообщении #1431627 писал(а):

Сразу вопрос: а почему первые производные на границах областей приравнивать?

Это Вы всерьез, или ТС потренировать?

[madschumacher]

amon в сообщении #1431633 писал(а):

Это Вы всерьез, или ТС потренировать?

В смысле? А там разве с такими условиями удастся вообще "срастить" решения?

[LifeDeath]

amon в сообщении #1431629 писал(а):

LifeDeath в сообщении #1431625 писал(а):

Это волновые числа

Замечательно. А что будет, если $E>U_1$?

Тогда, если я правильно понимаю, будет:

$\beta_1 = i\frac{\sqrt{2m(E - U_1})}{\hbar}$

$\beta_2 = i\frac{\sqrt{2m(E - U_2})}{\hbar}$

-- 23.12.2019, 20:54 --

madschumacher в сообщении #1431630 писал(а):

Во-вторых, +1 к warlock66613, если уж изучать КМ нормально, то и начинать надо с уравнения Шрёдингера, а не с интерпретации его решений.

Да, я хочу изучать с самых основ, сейчас смотрю лекции МФТИ. Но на данный момент эту задачу решить нужно. Поэтому пытаюсь решить основываясь на своем ничтожном опыте.

[DimaM]

warlock66613 в сообщении #1431623 писал(а):

Если найти уровни - почему бы и не искать уровни ($H \psi = E \psi$), зачем какие-то падающие волны?

Так решения при постоянной $U$ - это как раз экспоненты.

LifeDeath
Для упрощения выкладок:
- искать решение внутри в виде $A_2\sin(kx)+B_2\cos(kx)$ - сразу получаем связь $A_2$ и $B_2$,
- искать решение справа в виде $A_3\exp(-\beta_2(W-x))$ - можно исключить все амплитуды и получить как раз уравнение на $k, \beta_1, \beta_2$.

[amon]

LifeDeath в сообщении #1431640 писал(а):

$\beta_2 = i\frac{\sqrt{2m(E - U_2})}{\hbar}$

А это не обязательно. Ни кто не сказал, что $E>U_2$.

LifeDeath в сообщении #1431640 писал(а):

$\beta_1 = i\frac{\sqrt{2m(E - U_1})}{\hbar}$

И ...

[DimaM]

madschumacher в сообщении #1431627 писал(а):

Там же разрывный потенциал, следовательно и первые производные будут не непрерывные.

Если потенциал не бесконечный, должны быть таки непрерывные.

[madschumacher]

DimaM в сообщении #1431644 писал(а):

Если потенциал не бесконечный, должны быть таки непрерывные.

А, тьфу, извиняюсь за вмешательство.

[LifeDeath]

DimaM в сообщении #1431642 писал(а):

warlock66613 в сообщении #1431623 писал(а):

Если найти уровни - почему бы и не искать уровни ($H \psi = E \psi$), зачем какие-то падающие волны?

Так решения при постоянной $U$ - это как раз экспоненты.

LifeDeath
Для упрощения выкладок:
- искать решение внутри в виде $A_2\sin(kx)+B_2\cos(kx)$ - сразу получаем связь $A_2$ и $B_2$,
- искать решение справа в виде $A_3\exp(-\beta_2(W-x))$ - можно исключить все амплитуды и получить как раз уравнение на $k, \beta_1, \beta_2$.

Спасибо. Прошу прощения за глупость, но почему мы имеем право перейти к обычным тригонометрическим функциям? И про третье решение, $A_3\exp(-\beta_2(W-x))$ и $A_3\exp(-\beta_2x)$ это же разные решения, почему мы второе можем заменить первым?

-- 23.12.2019, 21:45 --

amon в сообщении #1431643 писал(а):

LifeDeath в сообщении #1431640 писал(а):

$\beta_2 = i\frac{\sqrt{2m(E - U_2})}{\hbar}$

А это не обязательно. Ни кто не сказал, что $E>U_2$.

LifeDeath в сообщении #1431640 писал(а):

$\beta_1 = i\frac{\sqrt{2m(E - U_1})}{\hbar}$

И ...

Если $E > U_1$ то уровней не будет вообще.