Задача о взаимно простых числах

[gusak]

svv в сообщении #1431484 писал(а):

Следовательно, $(Z+Y)^2-3$ тоже делится на 5.
Какой тогда будет остаток от деления на 5 у $(Z+Y)^2$ ?

Остаток 3. Что дальше?

[svv]

Верно. А имеет ли хоть один квадрат (любого целого числа) остаток 3 от деления на 5?
Проверьте пока чисто эмпирически.

Я буду на форуме часа через два.

[gusak]

svv в сообщении #1431486 писал(а):

Верно. А имеет ли хоть один квадрат (любого целого числа) остаток 3 от деления на 5?
Проверьте пока чисто эмпирически.

Получаются только остатки: 0, 1, 4.

[nnosipov]

gusak в сообщении #1431488 писал(а):

Получаются только остатки: 0, 1, 4.

Верно. Как видите, остатка 3 здесь нет. Какой вывод отсюда следует?

[gusak]

nnosipov в сообщении #1431491 писал(а):

gusak в сообщении #1431488 писал(а):

Получаются только остатки: 0, 1, 4.

Верно. Как видите, остатка 3 здесь нет. Какой вывод отсюда следует?

Что числа вида $(Z-Y)^2+1$ и $ZY-1$ не могут одновременно делиться на $5$.
И это всё доказательство? А другие способы доказательства есть, или это единственно возможный?

[nnosipov]

gusak в сообщении #1431492 писал(а):

А другие способы доказательства есть, или это единственно возможный?

Можно еще перебрать все варианты для пары остатков, которые дают числа $Z$ и $Y$ при делении на $5$ (всего 25 вариантов), и в каждом из них убедиться, что одновременно нулевыми остатки от деления на $5$ чисел $(Z-Y)^2+1$ и $ZY-1$ быть не могут.

Или Вы имеете в виду принципиально другой способ, не апеллирующий к остаткам? Такой, во всяком случае, будет сложнее.

[gusak]

nnosipov в сообщении #1431494 писал(а):

gusak в сообщении #1431492 писал(а):

А другие способы доказательства есть, или это единственно возможный?

Можно еще перебрать все варианты для пары остатков, которые дают числа $Z$ и $Y$ при делении на $5$ (всего 25 вариантов), и в каждом из них убедиться, что одновременно нулевыми остатки от деления на $5$ чисел $(Z-Y)^2+1$ и $ZY-1$ быть не могут.

Или Вы имеете в виду принципиально другой способ, не апеллирующий к остаткам? Такой, во всяком случае, будет сложнее.

Понятно, это был самый простой способ. Выходит, что взаимная простота двух чисел $Z$ и $Y$ здесь не играет существенной роли?
Очень благодарен Вам и вашим соратникам за помощь! Если вдруг ещё появятся для меня тупиковые вопросы, можно будет обратиться за помощью?

[nnosipov]

gusak в сообщении #1431495 писал(а):

Выходит, что взаимная простота двух чисел $Z$ и $Y$ здесь не играет существенной роли?

Да, как видите.

gusak в сообщении #1431495 писал(а):

Если вдруг ещё появятся для меня тупиковые вопросы, можно будет обратиться за помощью?

Почему нет? Здесь народ отзывчивый.