Задача о взаимно простых числах

[gusak]

nnosipov в сообщении #1431363 писал(а):

gusak в сообщении #1431361 писал(а):

Если целые положительные числа $Z$ и $Y$ - взаимно простые, причём $Z$ больше $Y$,
а числа $m, f, r$ - целые положительные, $r$ делится на 5, и число $f$ больше числа $m$,
то могут ли быть одновременно справедливыми оба равенства:

1) $(Z - Y)^2 + 1 = m\cdot r$;

2) $- Z\cdot Y + 1 = (m - f)\cdot r $ ?

Ответ: не могут.

Очень Вам благодарен!

Меня вот, что смутило. По сути в этих выражениях, если их переписать по-другому:

1) $(Z - Y)^2 + 1 = m\cdot r$;

2) $ Z\cdot Y - 1 = (f - m)\cdot r $,

то как бы число $(Z - Y)^2 + 1$ делится на число $r$,
но и число $Z\cdot Y - 1$ могло бы делиться на это число $r$.

В чём препятствие, ведь в первом выражении "+1", а во втором выражении "-1"?

[nnosipov]

gusak
Препятствие в том, что $r$ делится на $5$. Числа вида $(Z-Y)^2+1$ и $ZY-1$ не могут одновременно делиться на $5$. В этом все дело.

[gusak]

nnosipov в сообщении #1431368 писал(а):

gusak
Препятствие в том, что $r$ делится на $5$. Числа вида $(Z-Y)^2+1$ и $ZY-1$ не могут одновременно делиться на $5$. В этом все дело.

Не понимаю, как Вы это определили?
А если бы число $r$ делилось на 7, то ситуация была бы иной?

[nnosipov]

nnosipov в сообщении #1431368 писал(а):

Числа вида $(Z-Y)^2+1$ и $ZY-1$ не могут одновременно делиться на $5$.

Раз уж об этом зашел разговор: а на какие еще простые числа не могут одновременно делиться указанные выражения? (Это вопрос не к ТС.)

Upd. Ответ: на все, кроме простых чисел $p \equiv 1 \pmod{12}$. Потому что круговой многочлен 12-го порядка.

-- Вс дек 22, 2019 02:26:39 --

gusak в сообщении #1431370 писал(а):

А если бы число $r$ делилось на 7, то ситуация была бы иной?

Нет, точно такой же. А вот если $r$ делится на $13$, то ситуация меняется.

[gusak]

gusak в сообщении #1431370 писал(а):

nnosipov в сообщении #1431368 писал(а):

gusak
Препятствие в том, что $r$ делится на $5$. Числа вида $(Z-Y)^2+1$ и $ZY-1$ не могут одновременно делиться на $5$. В этом все дело.

Не понимаю, как Вы это определили?

Если Вам не трудно, разъясните, пожалуйста, на примере, когда число $r$ делится на 5, почему эти два выражения не могут одновременно делиться на 5 (а значит и на $r$).

-- 22.12.2019, 00:08 --

Shadow в сообщении #1431348 писал(а):

gusak в сообщении #1431341 писал(а):

Простите, забыл уточнить: число $r$ делится на число 5.

Господи! Могли же написать "могут ли оба числа $(Z-Y)^2+1$ и $ZY-1$ делится на 5".

Проверяйте возможные остатки $Y,Z$ по модулю 5.

Что Вы имеете ввиду? Я не знаком с этой методикой.

[nnosipov]

gusak в сообщении #1431376 писал(а):

Я не знаком с этой методикой.

Надо познакомиться, она несложная. Но я вынужден взять тайм-аут до утра.

[Null]

Арифметика остатков, оно же сравнение по модулю. Для работы с теорией чисел она необходима.

[gusak]

Null в сообщении #1431440 писал(а):

Арифметика остатков, оно же сравнение по модулю. Для работы с теорией чисел она необходима.

Мне говорят, что числа вида $(Z-Y)^2+1$ и $ZY-1$ не могут одновременно делиться на $5$.

Если Вам не трудно, докажите, пожалуйста, что эти два выражения не могут одновременно делиться на 5.

[svv]

Я могу придумать доказательство, в котором арифметика остатков используется минимально, самую малость. Но, по правилам форума, основную работу должны проделать Вы сами, я только подскажу направление. Согласны?

[gusak]

svv в сообщении #1431476 писал(а):

Я могу придумать доказательство, в котором арифметика остатков используется минимально, самую малость. Но, по правилам форума, основную работу должны проделать Вы сами, я только подскажу направление. Согласны?

Тогда начнём! Чисел очень много, а можно ли добиться полного доказательства этого утверждения?

[svv]

Обозначим $A=(Z-Y)^2+1$, $B=ZY-1$.
1) Найдите и упростите $A+4B$.
2) Если $A$ делится на $5$ и $B$ делится на $5$, что можно сказать про $A+4B$ ?

[gusak]

Обозначим $A=(Z-Y)^2+1$, $B=ZY-1$.
1) Найдите и упростите $A+4B$.

Получилось: $(Z+Y)^2-3$.

[svv]

Отлично. А второй вопрос?

[gusak]

$A+4B$ также делится на 5.

$(Z+Y)^2-3$ делится на 5.

[svv]

Следовательно, $(Z+Y)^2-3$ тоже делится на 5.
Какой тогда будет остаток от деления на 5 у $(Z+Y)^2$ ?