Метрика в группу. Так можно?

[Nartu]

Этот текст довольно старый, я не решался спрашивать раньше, надо было заканчивать универ.

Собственно, вопрос о "метрике" $\mathsf{d}$ со значениями в какой-то группе.
Да, в таком случае это будет просто отображение: $\mathsf{d}: M\times{M}\to\,G$ ($M$-множество, $G$ - группа). И название метрика тут лишнее - группа не всегда состоит из чего-то, что можно связать с "размером", но ничто не мешает такому отображению быть... А вопрос оглавления этим исчерпан.

Были ли здесь подобные обсуждения, может кто помнит? Я бы почитал. Вспоминаю тему одного не очень образованного человека, которому отвечали, будто на (линейном)пространстве метрика, точнее множество её значений, должно быть согласованным со структурой пространства...забыл и первого, и второго человека, и тему. Аксиомы для такого отображения надо вводить из соображений полезности. Можно скатать классические, но используя средства группы, - что-то такое:

1) $\mathsf{d}\left(x,y\right)=1_G \Leftrightarrow x=y $

2) $\mathsf{d}\left(x,y\right)=\mathsf{d}\left(y,x\right)$

3) $\mathsf{d}\left(x,z\right)\leqslant\mathsf{d}\left(x,y\right)\underset{\text{G}}{\bullet}\,\mathsf{d}\left(y,z\right)$
(Отсюда нужен ещё и нестрогий порядок.)

Конечно, можно создавать эквивалентные метрики, например для $\left(\mathbb{Z}, \left\lvert x-y \right\rvert \right)$ в виде $\left\lvert a^{x-y} \right\rvert$, со значениями в $\mathbb{Q}$, $a$ - ненулевое положительное рациональное. Множество $A={a^{n}}, n\in\mathbb{Z}$ порождает подгруппу $\mathbb{Q}$ по умножению. Да, $\mathbb{Z}$ - тоже группа, но, думаю, не накосячил.

Если понимание созданной конструкции требует глубокого изучения, то я сейчас не готов. Было бы круто если здесь всё довольно просто, то есть не на много сложнее обычной метрики. Сейчас я уже так не скажу, ведь есть неабелевы группы.

Я сейчас посматриваю уроки П.Шестопалова по топологии и могу предположить, что $\mathsf{d}$ порождает некоторую топологию.

(Оффтоп)

$$\mathsf{d}\left(x,y\right)=\(\text{\mathbf{1}_G}\)\Leftrightarrow x=y$$

Что тут случилось?

[iifat]

Не уверен, что разобрался, но вопрос-то в чём? Можно ввести такие определения и такие аксиомы? Можно, кто ж запретит. Обсуждать? Ну дык доведите ж рассуждения до каких-то интересных следствий!

[ИСН]

Если отношение порядка не согласовано с групповыми операциями, то вводить его противоестественно, а если согласовано - то довольно скучно.

[Nartu]

iifat, я попробую над этим поработать...
- Целью было спросить лучших за меня специалистов: не встречали ли они подобное, например в литературе...

-

ИСН в сообщении #1431220 писал(а):

Если отношение порядка не согласовано с групповыми операциями, то вводить его противоестественно, а если согласовано - то довольно скучно.

Вот, уже что-то... Под словом "скучно" понимается довольно похожие друг на друга конструкции и никакого разнообразия, или же "мало/слабо отличный от классики", и можно подобрать обычную метрику как эквивалентную?

Возможно, было бы неплохо приоткрыть завесу тайны, и немного рассказать о задаче, которая меня на это толкнула.
Так вот: можно ли сделать такую "метрику" из чисел вида: $\frac{1}{m+n-1}$ , где $m$ и $n$ - или равны, или взаимно-просты ($\in\mathbb{N}$). Конечно, первым делом надо, что бы это множество сформировало группу. Как по мне, это заслуживает отдельной темы.

[arseniiv]

Nartu
Кстати чтобы было больше аналогии с обычной метрикой, лучше группу заменить на моноид. Ведь $[0;+\infty)$ или $[0;+\infty]$ — не группы по сложению, но моноидами будут.

Например мы теперь мы можем взять $\mathbb Z_{\geqslant0}$ с умножением, а в качестве частичного порядка взять делимость. Ноль у нас будет бесконечным «расстоянием», и при этом имеем $m\prec mn$, и наоборот, если $m\prec n$, то существует $k$ такое, что $n = mk$, то есть можно вообще попробовать убрать ваш порядок и записать третью аксиому как $\exists\alpha.\,\mathsf d(x, y) * \alpha = \mathsf d(x, z) * \mathsf d(z, y)$. Обычные метрические пространства (со сложением) после этого всё ещё останутся частным случаем вашей конструкции.

-- Сб дек 21, 2019 19:56:31 --

Да, я взял смелость обобщить и порядок до частичного (перед тем как его лишиться) — ну что там с линейным накопаешь?..

-- Сб дек 21, 2019 20:04:59 --

Nartu в сообщении #1431257 писал(а):

Возможно, было бы неплохо приоткрыть завесу тайны, и немного рассказать о задаче, которая меня на это толкнула.
Так вот: можно ли сделать такую "метрику" из чисел вида: $\frac{1}{m+n-1}$ , где $m$ и $n$ - или равны, или взаимно-просты ($\in\mathbb{N}$). Конечно, первым делом надо, что бы это множество сформировало группу. Как по мне, это заслуживает отдельной темы.

А эта задача сама по себе родилась или тоже из чего-то? А то искусственно как-то выглядит. Любое счётное множество ведь можно сделать группой (или моноидом), а если нужна какая-то связь между видом его элементов и операцией, то не искать же её как попало, если она тоже в голову не пришла — это будет беспощадный бессмысленный путь, который вряд ли принесёт какие-то результаты, а они — применения.

-- Сб дек 21, 2019 20:11:10 --

arseniiv в сообщении #1431289 писал(а):

перед тем как его лишиться

Впрочем, это может быть и вредным. Вдруг хороший, совместимый порядок ($\alpha\prec\beta\Rightarrow\alpha*\gamma\prec\beta*\gamma$, и аналогично с другой стороны при некоммутативности) ввести можно, а как $\exists\gamma.\,\alpha*\gamma=\beta$ его может оказаться невозможным записать (например для групп, где было бы странно при $\alpha\prec\beta$ не иметь $\beta^{-1}\prec\alpha^{-1}$, кстати тут везде надо было бы с самого начала использовать аддитивную запись: наверняка кто-нибудь зайдёт, запутается и напишет лишний пост).

-- Сб дек 21, 2019 20:24:07 --

(Оффтоп)

Наконец, поначалу мне вообще пришло в голову, что если $G$ свободно и транзитивно действует на $M$, то мы имеем достаточно приятные далёкие аналоги 1)—3) (сами по себе не эквивалентные наличию действия и его свободности и транзитивности):

$$\begin{array}{ll} 1'. & (A - B) = e \Leftrightarrow A = B, \\ 2'. & (A - B) = (B - A)^{-1}, \\ 3'. & (A - B) = (A - C) * (C - B), \end{array}$$

где $-\colon M\times M\to G$ и по определению $(A - B) B = A$ (элемент группы с таким свойством будет и существовать, и единственен).

И вообще похожих соотношений можно много найти, типа традиционных троек (рефлексивность, симметричность, транзитивность) или (наличие нейтрального элемента, коммутативность, ассоциативность). Правда там везде с порядком непорядок, ну и более полная аналогия у рефлексивности и пр. была бы с аксиомой не метрического, а псевдометрического пространства: $d(A, A) = 0$ (но не запрещается $d(A, B) = 0$ для $A\ne B$).

[arseniiv]

Не, это довольно хорошая конструкция вырисовывается, надо бы уже найти ей примеры. Назовём моноид, совместимый с частичным порядком, $\prec$-моноидом. Видно, что прямая сумма и конечного, и счётного числа $\prec$-моноидов — тоже такой, притом если они все коммутативны, понятно, что и сумма такова, и если для всех их $\prec$ выражается через моноидальную операцию (как выше), то опять же и у суммы так. Наконец, если в $\prec$-моноиде нет поглощающего/наибольшего элемента, его всегда можно добавить, не испортив даже и перечисленных выше свойств.

Один пример естественно возникающего такого пространства (кроме всех обычных $\infty$-метрических) — это любой невзвешенный граф с порождаемой им метрикой; так как все расстояния кратны 1 (будем считать, и бесконечное тоже), то естественнее и оставить значениями метрики только $\overline{\mathbb N}$. Хотя оно будет являться и обычным $\infty$-метрическим пространством. Но всё равно приятно.

-- Сб дек 21, 2019 22:35:06 --

Правда такое пространство с «метрическим моноидом», являющимся прямой суммой, ничем не лучше пространства, на котором одновременно определено несколько таких «метрик» (и все они нам важны, но мы не можем предпочесть одну другой, что делает порядок частичным, даже если он для каждой по отдельности линейный). Таким образом мы могли бы почти свести пространство с «метрикой» $(\mathbb N, \cdot, \text{делимость})$ к счётному количеству обычных $\overline{\mathbb N}$, но с ограничением, что или все расстояния одновременно конечны, или все они бесконечны. Хотя возможно есть другие моноиды, ситуацию с которыми так просто не сделаешь тривиальной.

[Nartu]

arseniiv, довольно вкусная информация... Спасибо.

arseniiv в сообщении #1431289 писал(а):

А эта задача сама по себе родилась или тоже из чего-то? А то искусственно как-то выглядит. Любое счётное множество ведь можно сделать группой (или моноидом), а если нужна какая-то связь между видом его элементов и операцией, то не искать же её как попало, если она тоже в голову не пришла — это будет беспощадный бессмысленный путь, который вряд ли принесёт какие-то результаты, а они — применения.

Наверное надо коротко, но договорить, хотя смахивает на оффтопик. Формула: $\frac{1}{m+n-1}$ есть мера частотного консонанса музыкальных интервалов(сумм пар пропорциональных звуковых сигналов). По-сути это процент сходящихся гармоник; в смысле численного измерения "приятности" звучания таких сигналов. Надо сказать, что m и n есть числитель и знаменатель коэффициента пропорциональности сигналов. Наблюдения показали, что формула работает. Конечно, есть нюансы, связанные с диапазоном.
Я связался с одним из тех людей, что этим занимаются, и у них была идея считать это какой-то метрикой, но у меня сразу возник дискомфорт, ведь если оба сигнала совпадают, получится: $\frac{1}{1+1-1}=1$, что не соответствует "обычной" метрике. Единственное, что возникло тогда в моей голове - "А если это метрика в группу по умножению?". Вот и спросил здесь.

Nartu в сообщении #1431198 писал(а):

1) $\mathsf{d}\left(x,y\right)=1_G \Leftrightarrow x=y $

2) $\mathsf{d}\left(x,y\right)=\mathsf{d}\left(y,x\right)$

3) $\mathsf{d}\left(x,z\right)\leqslant\mathsf{d}\left(x,y\right)\underset{\text{G}}{\bullet}\,\mathsf{d}\left(y,z\right)$

Эти аксиомы я привёл как пример, только и всего.

(Оффтоп)

не нашел способа отредактировать начальное сообщение, будет без "плюса"

[arseniiv]

Nartu в сообщении #1431411 писал(а):

Наблюдения показали, что формула работает.

Не, так дело не пойдёт, не изобретайте велосипед. Вот: http://www.acousticslab.org/learnmoresra/moremodel.html. Это, правда, слишком точно, для начала может подойти моделька, упоминающаяся в книге Dave Benson, Music: a mathematical offering, которая хороша тем, что там про это глава и вводит в курс дела аккуратно (и ещё там главы по разным другим темам, касающимся музыки). William Sethares в Tuning, Timbre, Spectrum, Scale вообще это развивает в большую часть книги, но я её так как следует не почитал, и подозреваю, что он может там немного перебарщивать с оценкой значимости разных эффектов.

Метрика вроде из этого не особо получается, правда — если только (не особо линейный) функционал (от спектров звука).

[Nartu]

arseniiv в сообщении #1431416 писал(а):

Не, так дело не пойдёт, не изобретайте велосипед.

А это и не я... Там было о звуках колебания струны, частоты которых умножали на рациональные числа.

За книгу спасибо, это будет полезно не только мне...
Я мог бы вам в ЛС отправить ссылку на один заброшенный сайт с некоторой информацией, которая меня сподвигла, а там уже вы мне скажете, на сколько это хорошо, научно, или Нет.

[arseniiv]

Не стоит, я сам достаточно замучился распутывать это для себя в своё время.

[Nartu]

На свой страх и риск предупреждения позволю себе кратко рассказать.

Там делали так: взяли сигнал колебаний струны и умножали его на простые числа, что бы никакие 2 сигнала не совпали(частотно, не на бесконечности).
Делают произведение этих массивов, получают таблицы различных размерностей. Потом это "факторизируют" по приближению(ошибки слуха, мозга) Получают таблицу уже звуков из музыкального строя. Потом видят, что какие-то клетки с таблицы, расположенные так

$$\xymatrix{\circ\ar@{<-}[d]&\circ\\ 1\ar@{->}[r]&\circ}$$

дают сумму из 3-х волн, которую называют мажорным трезвучием. Сместив этот "репер" на одну клетку влево и вправо, получатся 3-звучия, что формируют т.н. функциональные 3-звучия субдоминанты S и доминанты D. Вместе с исходным получилась мажорная тональность, и действительно, ближайшие(в музыкальном смысле) 3-звучия для классического строя получились ближайшими в этой таблице. Какое-то визуальное представление "гармонии". Конечно, это только вблизи значения коэффициента 1 в изначальной таблице.

$$\xymatrix{\circ\ar@{<-}[d]&\circ\ar@{<-}[d]&\circ\ar@{<-}[d]&\circ\\ \circ\ar@{->}[r]&1\ar@{->}[r]&\circ\ar@{->}[r]&\circ}$$

Я только заинтересовался этим на свою голову и не являюсь соавтором Этого.

(Оффтоп)

От физики после только-что законченного универа по этой специальности у меня только грусть и уныние. Возможно это повлияло...

На всякий случай, спасибо всем.

[Nartu]

Прошу извинений за подъём темы, просто возник вопрос со смежным содержанием.

(Оффтоп)

Мне немного не по себе от прежнего последнего сообщения.. Пусть будет, но лучше бы я его не делал...

Без лишних слов: Как найти или "обойти" метрику, располагая только (открытыми) шарами по этой метрике? То есть не зная даже, куда она отображает, но с оговоркой о порядке между ними - какие "меньше", какие "больше". На сколько это мотивировано?

Иначе - можно ли получать какие-то качественные или интерестные результаты о пространстве, имея в расположении только набор шаров по его метрике?

Случай с моноидом отошел от конкретных числовых значений до множества с неким порядком. Там была операция, что по идее должно было оставить шанс на всякие штуки, вроде скалярного произведения.. только их всё равно можно добавить в любом случае, да?..

Была у меня идея сделать такое, от-балды, - с дискретной топологией на $\mathbb{R}$. Упорядочить (откр.)"шары" в зависимости от их мощности. Мне показалось, будь-то такое будет неотличимо от обычного $\mathbb{R}$, но что-то не так.. Несчётные (связные)подмножества будут шарами одинакового "размера", а пустое множество, хоть и ноль, но думая о расстоянии между точками - "пустой шар" не вклинить.. Чую, породил монстра...

И вообще, кажется, что метрическое пространство крутое тем, что можно точнее указать, как точки и подмножества разделены в пространстве. Может даже аксиомы $d(x,x)=0$ и не нужно.. Главное - порядок..?

[arseniiv]

Nartu в сообщении #1455351 писал(а):

Без лишних слов: Как найти или "обойти" метрику, располагая только (открытыми) шарами по этой метрике? То есть не зная даже, куда она отображает, но с оговоркой о порядке между ними - какие "меньше", какие "больше". На сколько это мотивировано?

Тут всё просто. Та структура, которая остаётся, задаётся как раз топологией пространства (ну если мы не будем рассматривать некоторые другие понятия, которые уже тоже придумали, и названия которых я всё равно прямо сейчас не помню). Каждая метрика задаёт некоторую топологию, но (1) есть топологии, не задаваемые никакой метрикой (пространства с такими топологиями зовут неметризуемыми), хотя это и не ваш случай, но для эрудиции полезно; и (2) несколько разных метрик могут задавать одну и ту же топологию. Такие метрики зовут эквивалентными, и их довольно широкие семейства. Например есть куча разных метрик, эквивалентных евклидовой.

Вы можете просто открыть книжку по метрическим пространствам.

[Nartu]

arseniiv
"Мой случай" не столь важен, я спрашиваю отдельно, хотя и мотивация спросить - из него.

Спасибо, конечно. Хотелось узнать, есть ли методы изучения метр.пространства без явного задания метрики, как раз так, как я указал.
Если есть в любом учебнике - поробую найти.
Осталась только одна неразбериха: так какие обязательные аксиомы для метрики? Учебник-то поможет, но не думаю, что там начнут от самого слабого случая.
Обычно топология не предполагает возможности сравнивать множества своей базы, которую шары должны порождать. Я предположил, что нужен какой-то порядок(пред-). Это главное? Ответа учебник сразу не даст, а всякого придумали много. Вы тоже можете не давать, а настоятельно отправить меня читать учебники. И вопросов не будет.

[ИСН]

Вы грызёте открытую дверь. Все вопросы - какие-то такие, что не допускают никакого ответа, кроме банального, вроде "Вы находитесь на воздушном шаре".
Обязательные аксиомы для метрики - это все аксиомы метрики. Ни одна из них не выводится из других. Без любой получится уже не метрика.
Восстановить метрику по шарам невозможно по той причине, что указал arseniiv. Имеет смысл спрашивать, что же общего у всех метрик, которые порождают одну и ту же топологию. Но ответ будет тоже банальным: у них общая... топология.
Топология вполне себе предполагает возможность сравнивать множества своей базы. Частичный порядок по включению никто не отменял.