Колебание бесконечной одномерной цепочки атомов с дефектом.

[LifeDeath]

Типовая задача на получения дисперсионных характеристик для одномерной цепочки атомов с одинаковыми массами и жесткостью, но присутствует один атом другой массы (примесь). Ниже показан рисунок:



Все жесткости равны, отличается только одна масса одного атома.
Вообще задача простая для одинаковых атомов, или для атомов двух типов в одной постоянной решетки.
Как решать такую задачу понять не смог.
Записал систему закона Ньютона для двух масс (массы большого атома $n+1$ и левого от него $n$):

\begin{equation*} \begin{cases} m_1\ddot{U}_{n} = -\beta(U_n -U_{n-1}) -\beta(U_n -U_{n+1}) \\ m_2\ddot{U}_{n+1} = -\beta(U_{n+1} - U_{n}) - \beta(U_{n+1} - U_{n+2}) \end{cases} \end{equation*}

Где $\beta$ это жесткости пружин (связи), а $U$ это амплитуда сдвига соответствующего атома.
Буду искать решение в виде двух волн:

\begin{equation*} \begin{cases} U_{n}$ = $A_{1}$e^{i(kx - \omega t)} \\ U_{n+1}$ = $A_{2}$ e^{i(kx - \omega t)} \end{cases} \end{equation*}

Видно, что:

\begin{equation*} \begin{cases} \ddot{U}$_{n} = - \omega^2 U_{n} \\ \ddot{U}$_{n+1} = - \omega^2 U_{n+1} \end{cases} \end{equation*}

Тогда подставим это в исходную систему:

\begin{equation*} \begin{cases} -m_1$\omega^2 U_{n} = -\beta(U_n - U_n e^{-ika}) - \beta(U_n - U_{n+1}) \\ -m_2$\omega^2 U_{n+1} = -\beta(U_{n+1} - U_n ) - \beta(U_{n+1} - U_{n} e^{ika}$) \end{cases} \end{equation*}

Где $a$ - это постоянная решетки. В обоих уравнениях некоторые сдвиги последующих атомов были представлены сдвигами данных атомов, домноженных на вектор решетки e^{ika}
Теперь подставим искомые решения в последнюю систему вместо $U_{n}$ и $U_{n+1}$, в ходе упрощений сократим все на множитель e^{i(kx - \omega t)}, получим систему:

\begin{equation*} \begin{cases} -m_1$\omega^2 A_{1} = -\beta A_{1}(1 - e^{-ika}) - \beta(A_{1} - A_{2}) \\ -m_2$\omega^2 A_{2} = -\beta(A_{2} - A_{1}) - \beta(A_{2} - A_{1} e^{2ika}$) \end{cases} \end{equation*}

Данную систему нужно решить относительно амплитуд $A_{1}$ и $A_{2}$, в ходе чего удастся получить закон дисперсии $\omega = f(\beta)$.
Однако мое решение получилось слишком громоздким, полагаю, что ошибка была в изначальных рассуждениях. Может постоянная решетки $a$ была выбрана неверно? Или системы уравнений были записаны не для тех атомов (но очевидно, что в одном уравнении должна быть амплитуда атома большой массы, а в другом уравнении - малой массы).
Если бы у нас чередовались атомы двух разных масс, то постоянная решетки была бы $2a$, но здесь же считается что у нас простая цепочка с постоянной $a$, в которой находится дефект. Поэтому кажется что $a$ - правильное значение.
Прошу помочь разобраться, подсказать, как правильно составить систему которую и нужно решить. Возможно, нужно сделать какое-то допущение. Если правильно составить исходную систему, дальше дело останется только за математикой.
Заранее спасибо.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (Ф)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);
- расставьте в тексте пробелы, запятые, точки и т.п. там, где надо, заодно проверьте согласование падежей.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (Ф)»

[Munin]

LifeDeath в сообщении #1431286 писал(а):

Типовая задача на получения дисперсионных характеристик для одномерной цепочки атомов с одинаковыми массами и жесткостью, но присутствует один атом другой массы (примесь).

Постановка задачи какая-то странная.

Если решётка бесконечная, то один атом оказывает на неё исчезающе малое влияние.

Если мы этого не хотим, то надо добавить один атом на каждые $N$ атомов. Или аналогично, рассмотреть один атом, но решётка не бесконечная, а просто длинная, с граничными условиями (например, циклическими).

Если хочется рассмотреть всё-таки один атом в бесконечной решётке, то его влияние будет не в виде изменения дисперсионных характеристик. Оно скорее будет в виде условий сшивки (граничных условий) для волн слева и справа, каждые из которых - в базисе однородной цепочки. То есть, "точечная неоднородность" в волновом уравнении, приводящая к явлениям типа отражения, и может быть, локализованных состояний.

[LifeDeath]

Munin в сообщении #1431685 писал(а):

LifeDeath в сообщении #1431286 писал(а):

Типовая задача на получения дисперсионных характеристик для одномерной цепочки атомов с одинаковыми массами и жесткостью, но присутствует один атом другой массы (примесь).

Постановка задачи какая-то странная.

Если решётка бесконечная, то один атом оказывает на неё исчезающе малое влияние.

Если мы этого не хотим, то надо добавить один атом на каждые $N$ атомов. Или аналогично, рассмотреть один атом, но решётка не бесконечная, а просто длинная, с граничными условиями (например, циклическими).

Если хочется рассмотреть всё-таки один атом в бесконечной решётке, то его влияние будет не в виде изменения дисперсионных характеристик. Оно скорее будет в виде условий сшивки (граничных условий) для волн слева и справа, каждые из которых - в базисе однородной цепочки. То есть, "точечная неоднородность" в волновом уравнении, приводящая к явлениям типа отражения, и может быть, локализованных состояний.

Граничные условия Борна — Кармана. И один атом отличается от остальных.
По заданию нужно получить частоту как функцию от волнового вектора, то есть типичная задача такого вида. Но у меня громоздкий ответ получился.

[Munin]

LifeDeath в сообщении #1431690 писал(а):

Граничные условия Борна — Кармана.

Ага. Это другое дело.

LifeDeath в сообщении #1431690 писал(а):

По заданию нужно получить частоту как функцию от волнового вектора, то есть типичная задача такого вида. Но у меня громоздкий ответ получился.

Может, надо считать задачу в первом приближении, например, считая малым параметром $1/$ длину цепочки.

[Alex-Yu]

Munin в сообщении #1431685 писал(а):

Постановка задачи какая-то странная.

Это совершенно нормальная задача. Хотя, конечно, ни о каком законе дисперсии тут речь идти не может (примесь нарушает трансляционную инвариантность). Тут надо искать плотность состояний. Задача решается точно, как показал ИМ Лифшиц (не путать с его братом) где-то в 40-х (?). Вообще решается случай возмущений конечной размерности.

В самом простом виде (как раз таком) задача рассмотрена в учебнике Кацнельсона и Вонсовского. Более общее рассмотрение (и довольно детальное) в книге Марадудина. Ну и ИМ Лифшиц, конечно. Хотя должно и еще много где быть, задача-то классическая.

В принципе идея простая. Разбиваем мысленно примесь на две массы: одна такая же, как остальные, вторая -- добавка. Получается одна единственная масса (добавочная) "прицепленная" к бесконечной трансляционно инвариантной решетке. Найти функцию Грина бесконечной решетки -- запросто (трансляционная инвариантность в помощь). Т.е. мы знаем, как решетка реагирует на силу, приложенную к одному узлу (далее 3-й закон Ньютона). В итоге задача про одну единственную массу, на которую действует сила, зависящая (нелокально по времени) от смещения этой массы.

[Munin]

Alex-Yu в сообщении #1431721 писал(а):

Это совершенно нормальная задача. Хотя, конечно, ни о каком законе дисперсии тут речь идти не может

Я это и сказал. Зачем говорить, что я неправ?