Движение в поле тяжести во вращающейся СК

[Dmitriy40]

Всех приветствую.
Что-то меня глючит с уравнением движения в центральном гравитационном поле, вроде и понимаю где ошибка, но вот почему и как исправить не доходит. Итак.
Рассматриваю численное решение движения материальной точки во вращающейся системе координат с началом в гравитирующем центре и радиус-вектором на материальную точку при наличии двух реальных сил: гравитационное притяжение и сила трения. Гравитационное притяжение считаю обычно, $a_g=-GM/r^2$ (работаю сразу с ускорениями). Сила трения взята тоже вполне обычно $a_t=C v^2$. Силу трения раскладываю на радиальную и тангенциальную составляющие по компонентам скорости, потом к радиальной добавляю гравитационную. С этим всё понятно. Затык с компенсацией вращения СК, добавил фиктивную силу инерции, равную центробежному (противоположному центростремительному) ускорению $a_{CK}=v_x^2/r$ (беру только тангенциальную компоненту скорости) и добавляю её к радиальному ускорению. Для кругового движения (с нулевым трением) всё отлично, высота $r$ сохраняется, как и должна, а вот для некругового получаю чушь: если скорость объекта выше круговой (первой космической для данной высоты), то имеем ускорение вверх, что увеличивает $r$ (что пока логично), уменьшает $a_{CK}$ (что тоже логично), но вот $a_g$ уменьшается быстрее ($a_g \sim r^{-2}$ против $a_{CK} \sim r^{-1}$), что с увеличением $r$ и сохранением скорости $v$ (и соответственно $v_x$) создаёт всё увеличивающееся с ростом $r$ ускорение вверх. А это уже бред.
И вот тут непонятно что упустил. То ли поворот вектора скорости надо делать честно, то ли неправильно добавил фиктивную силу, то ли надо не силу добавлять, а честно считать изменение $r$ при повороте СК (да ещё и скорость поворачивать), то ли что-то с потенциальной энергией упустил (хотя она же вроде следствие действия сил) ... Туплю, подскажите, а? И если можно, попроще, без диф.уравнений.

Расчёт идёт численно, с малым шагом по времени, из ускорений получаются радиальная, тангенциальная и полная скорости, а из них уже и $r$. От уменьшения шага поведение не зависит (что впрочем очевидно), т.е. ошибка не в интегрировании ускорений.

Формулы кучно:
$v_x=\sqrt{GM/r}, \; v_y=0, \; v=\sqrt{v_x^2+v_y^2}$ (первая космическая для данной высоты) - начальное условие
Дальше в цикле с малым $dt$:
$a_g=-GM/r^2, \; a_t=-C v^2$
$a_x=a_t v_x/v, \; a_y=a_t v_y/v +a_g + v_x^2/r$
$r=r+v_y dt + a_y dt^2/2$
$v_x=v_x+a_x dt, \; v_y=v_y+a_y dt, \; v=\sqrt{v_x^2+v_y^2}$

[Munin]

Dmitriy40 в сообщении #1431193 писал(а):

Затык с компенсацией вращения СК, добавил фиктивную силу инерции, равную центробежному

А сила Кориолиса куда делась? (Плюс третья, если вращение с.к. неравномерное.)

[Dmitriy40]

Munin в сообщении #1431194 писал(а):

Dmitriy40 в сообщении #1431193 писал(а):

Затык с компенсацией вращения СК, добавил фиктивную силу инерции, равную центробежному

А сила Кориолиса куда делась? (Плюс третья, если вращение с.к. неравномерное.)

А разве она тут нужна? Ведь радиус-вектор СК всегда направлен на тело и никакого дополнительного смещения (что и даёт сила Кориолиса) нет. Т.е. тело не двигается относительно вращающейся СК, а СК привязана к телу (и вообще говоря меняется только высота $r$).
Вот неравномерность вращения да, присутствует, но не понимаю чем она может мешать.
Может я коряво выразился насчёт вращения СК, просто рассматриваю лишь высоту $r$ объекта и тангенциально-радиальные компоненты скорости и ускорения. А уж как оно "вращается" без разницы.
Видимо нужно ещё подсказок.

-- 21.12.2019, 04:48 --

Э, я забыл про тангенциальное ускорение что ли? И именно оно будет тормозить объект при увеличении $r$, когда скорость направлена "наружу" круговой орбиты?

[Munin]

Dmitriy40 в сообщении #1431195 писал(а):

Т.е. тело не двигается относительно вращающейся СК, а СК привязана к телу (и вообще говоря меняется только высота $r$).

О! То есть, у вас наложено условие, что как бы тело ни двигалось, с.к. показывает на него? Эта задача существенно сложнее. Самое меньшее, она выливается в систему со связями.

У меня был аналогичный порыв лет $n$-дцать назад, и в итоге я ничего не решил:

«падение камня с центробежной силой»

(тема позорная для меня, но если вы на ней чему-нибудь научитесь, хоть чему-то она послужит).

[pogulyat_vyshel]

В полярной системе координат

$m\boldsymbol a=-\frac{GmM}{r^2}\boldsymbol e_r-C|\boldsymbol v|\boldsymbol v$

$$\boldsymbol a=(\ddot r-r\dot\varphi^2)\boldsymbol e_r+(r\ddot\varphi+2\dot r\dot\varphi)\boldsymbol e_\varphi;\quad \boldsymbol v=\dot r\boldsymbol e_r+r\dot\varphi\boldsymbol e_\varphi$$

[Sender]

Dmitriy40 в сообщении #1431195 писал(а):

Э, я забыл про тангенциальное ускорение что ли? И именно оно будет тормозить объект при увеличении $r$, когда скорость направлена "наружу" круговой орбиты?

Похоже на то. Если первоначальная скорость существенно отличается от орбитальной, в отсутствие сопротивления тело двигалось бы по эллипсу, т.е. система отсчёта должна вращаться с переменной скоростью. И в таком случае её использование не представляется такой уж блестящей идеей...

Если убрать аэродинамику, у вас эллипс получается?

-- Сб дек 21, 2019 13:40:24 --

pogulyat_vyshel в сообщении #1431219 писал(а):

$m\boldsymbol a=-\frac{GmM}{r^2}\boldsymbol e_r-C|\boldsymbol v|\boldsymbol v$

Если хочется учесть ещё и подъёмную силу, наверное, будет что-то вроде $m\boldsymbol a=-\frac{GmM}{r^2}\boldsymbol e_r-C_x|\boldsymbol v|\boldsymbol v+C_y|\boldsymbol v|(\boldsymbol e_{\varphi}\times\boldsymbol e_{r})\times\boldsymbol v$.

[Pphantom]

Считать что-то во вращающейся с переменной скоростью СК весьма неудобно, и причины этого в общем-то уже изложили. Если оно вам надо как самоцель, тогда другой вопрос, а если это попытка сделать что-нибудь вроде численного решения задачи про орбитальный самолетик из соседней темы , то проще просто пренебречь вращением Земли. Точную количественную модель вы все равно считать не будете, а на качественную картинку поправка скорости, не превышающая штуки процентов , не повлияет.

[Dmitriy40]

Вообще я зря про трение упомянул, с ним проблем нет, всё понятно, и на ошибку оно не влияет.

Sender в сообщении #1431224 писал(а):

Если убрать аэродинамику, у вас эллипс получается?

Получался бы - не писал бы сюда.

Munin в сообщении #1431215 писал(а):

О! То есть, у вас наложено условие, что как бы тело ни двигалось, с.к. показывает на него? Эта задача существенно сложнее.

Хм, мне казалось наоборот проще, всего две проекции сил, ускорений и скоростей и всего одна координата ($r$). Да, угол в полярной системе координат не интересует, только радиус.
Тема та существенно о другом, и заметно сложнее.

Pphantom
Да, задача именно про самолётик. И никакого вращения планеты у меня нет, СК привязана к самолётику, не к планете. К счастью вроде при снижении особых проблем нет, гравитация быстро пересиливает ошибку. Хотя сомнение конечно остаётся.
И не пойму почему же сложнее-то?! Ведь наоборот проще всё разложить на вертикальную/горизонтальную (радиальную/тангенциальную) проекции и уже в них считать (кроме модуля силы трения понятно).

pogulyat_vyshel в сообщении #1431219 писал(а):

$m\boldsymbol a=-\frac{GmM}{r^2}\boldsymbol e_r-C|\boldsymbol v|\boldsymbol v$

Это вроде понятно, гравитация и трение.

pogulyat_vyshel в сообщении #1431219 писал(а):

$\boldsymbol a=(\ddot r-r\dot\varphi^2)\boldsymbol e_r+(r\ddot\varphi+2\dot r\dot\varphi)\boldsymbol e_\varphi;\quad \boldsymbol v=\dot r\boldsymbol e_r+r\dot\varphi\boldsymbol e_\varphi$

А вот над этим буду думать, производные по углу смущают. Т.е. понятно что они нужны для полных векторов скорости и ускорения, но если меня не интересует угол в СК и нужны только проекции, то пока не пойму что там можно выкинуть или сократить (и как собственно это считать).
И если позволите, уточняющий вопрос: я ведь имею право заменить $\dot r \to v_y, \; \ddot r \to a_y$ (т.е. производные по радиусу на радиальные проекции скорости и ускорения)? Или и здесь засада с поворотом осей СК?

[Pphantom]

Dmitriy40 в сообщении #1431254 писал(а):

Хм, мне казалось наоборот проще, всего две проекции сил, ускорений и скоростей и всего одна координата ($r$).

Это проще в СК, вращающейся с постоянной угловой скоростью, а у вас это не так. В принципе, подобным образом можно считать медленное снижение в атмосфере, предполагая, что движение в каждый конкретный момент времени происходит по орбите, близкой к круговой, а изменение радиуса за один оборот мало, но для общего случая такой подход не годится.

Dmitriy40 в сообщении #1431254 писал(а):

И никакого вращения планеты у меня нет, СК привязана к самолётику, не к планете.

Тогда зачем вы усложняете себе жизнь на ровном месте? Единственная осмысленная причина введения вращающейся (и привязанной именно к планете) СК в этой задаче - учет того, что в первом приближении атмосфера Земли вращается вместе с Землей (и, как следствие, более аккуратный счет силы сопротивления). Если этого нет, то незачем городить огород.

[Dmitriy40]

Pphantom
Похоже я неверно выразился и надо не вращающуюся СК, а полярную СК.
Про вращение атмосферы я не подумал, спасибо, к счастью оно мало по сравнению со скоростью объекта, да и учесть его несложно, но в этой теме это лишнее.

Чего-то я запутался. В обычной декартовой СК никаких фиктивных сил нет, только гравитация (про трение забудем, его учитывать умею). И всё прекрасно работает/считается. А при переходе в полярную СК (пусть неподвижную) разве не достаточно добавить фиктивную радиальную силу? Неужели засада глубже чем ожидал?
Т.е. понятно что траекторию поворачивает гравитация, но в терминах изменения $r$ гравитацию надо чем-то компенсировать чтобы получить круговую орбиту ($r=\operatorname{const}$). Я и добавил центробежную силу, фиктивную. И запутался.

[Pphantom]

Dmitriy40 в сообщении #1431261 писал(а):

А при переходе в полярную СК (пусть неподвижную) разве не достаточно добавить фиктивную радиальную силу? Неужели засада глубже чем ожидал?

Наоборот, она мельче. От смены вида координат (при сохранении системы отсчета) набор сил вообще никак не поменяется, их всего лишь надо переписать в нужных координатах. Соответственно, в таком варианте вообще никаких фиктивных сил не будет.

[Sender]

Dmitriy40 в сообщении #1431254 писал(а):

Или и здесь засада с поворотом осей СК?

Она уже учтена в этих уравнениях, отсюда и производные по углу. При круговом движении по орбите $\dot r=0$, $\ddot \varphi=0$.

[Dmitriy40]

Pphantom
Sender
Правильно ли я понял что засада у меня не в добавлении фиктивной силы, а в записи сил в проекциях на оси полярной СК, чего делать (в таком виде) нельзя? Тогда не понимаю почему нельзя, ведь гравитация действует строго радиально, центробежная тоже, горизонтальная скорость меняться не должна (при круговой орбите). Если центробежную убрать, то будет меняться $v_y=\dot r$ из-за гравитации и тогда похоже придётся учитывать что спустя $dt:\; v_x \ne \dot \varphi;\,v_y \ne \dot r$ (уже не тангенциальные/радиальные) и перепроектировать их на новые оси - это и называл поворотом осей СК. Так?

С уравнением $\vec a=(\ddot r-r\dot\varphi^2)\vec e_r+(r\ddot\varphi+2\dot r\dot\varphi)\vec e_\varphi$ пока не разобрался, непонятно происхождение вторых слагаемых в скобках.

PS. Задачу-то я решу, "грубой силой" в честной декартовой СК в конце концов, хотелось бы понять где именно лопухнулся с добавлением фиктивной силы.

[svv]

Dmitriy40 в сообщении #1431428 писал(а):

С уравнением $\vec a=(\ddot r-r\dot\varphi^2)\vec e_r+(r\ddot\varphi+2\dot r\dot\varphi)\vec e_\varphi$ пока не разобрался

Оно получено дифференцированием $\mathbf v=\dot r\mathbf e_r+r\dot\varphi\mathbf e_\varphi$ по времени с учётом $\dot{\mathbf e}_r=\dot\varphi \mathbf e_\varphi$ и $\dot{\mathbf e}_\varphi=-\dot\varphi \mathbf e_r$.
В свою очередь, $\mathbf v=\dot r\mathbf e_r+r\dot\varphi\mathbf e_\varphi$ получено дифференцированием по времени $\mathbf r=r\mathbf e_r$.

[Dmitriy40]

svv в сообщении #1431435 писал(а):

с учётом $\dot{\mathbf e}_r=\dot\varphi \mathbf e_\varphi$ и $\dot{\mathbf e}_\varphi=-\dot\varphi \mathbf e_r$.

Спасибо, именно этого и не хватало для понимания.