Задача о взаимно простых числах

[gusak]

Если целые положительные числа $Z$ и $Y$ - взаимно простые,
а числа $m, f, r$ - целые положительные,
то могут ли быть одновременно справедливыми оба равенства:

1) $(Z - Y)^2 + 1 = m\cdot r$;
2) $- Z\cdot Y + 1 = (m - f)\cdot r $ ?

Думаю, что поскольку числа $(Z - Y)^2 $ и $ - Z\cdot Y $ - взаимно простые, то не могут быть одновременно справедливыми оба равенства. А как вы думаете?

К примеру, $(8 - 1)^2 +1 =10$\cdot5$;

$-8$\cdot1+1 =(\frac{10-17}{5})\cdot5$.

Однако здесь $(m - f)$ - не целое число.
А может ли быть так, чтобы $(m - f)$ было целым числом?

Чтобы попытаться ответить на свой вопрос, предлагаю метод рассуждения.
Поскольку числа $ Z, Y $ не имеют общих делителей, то их разница $(Z - Y) $, а значит и квадрат разницы $(Z - Y)^2 $ не будет иметь общих делителей с каждым отдельным числом $ Z, Y $. И не будет иметь никаких общих делителей с произведением этих чисел: $ Z\cdot Y $, вне зависимости от того, стоит знак " - " перед этим произведением или нет.

А поскольку с прибавлением единицы и первое $(Z - Y)^2 $, и второе $- Z\cdot Y $ число должно нацело делиться на число $r$,

то, таким образом, получается, что одновременно оба равенства:

1) $(Z - Y)^2 + 1 = m\cdot r$;
2) $- Z\cdot Y + 1 = (m - f)\cdot r $,

не могут быть верными при заданных условиях. Как-то так.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы): отдельные обозначения тоже оформите, плиз.
- отсутствуют собственные содержательные попытки решения задач(и).

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[nnosipov]

gusak в сообщении #1431164 писал(а):

получается, что одновременно оба равенства:

1) $(Z - Y)^2 + 1 = m\cdot r$;
2) $- Z\cdot Y + 1 = (m - f)\cdot r $,

не могут быть верными при заданных условиях.

А число $r=1$ считается целым положительным числом?

-- Вс дек 22, 2019 01:02:25 --

gusak в сообщении #1431164 писал(а):

А поскольку с прибавлением единицы и первое $(Z - Y)^2 $, и второе $- Z\cdot Y $ число должно нацело делиться на число $r$,

то

никакого противоречия нет даже если $r>1$.

[gusak]

nnosipov в сообщении #1431339 писал(а):

gusak в сообщении #1431164 писал(а):

получается, что одновременно оба равенства:

1) $(Z - Y)^2 + 1 = m\cdot r$;
2) $- Z\cdot Y + 1 = (m - f)\cdot r $,

не могут быть верными при заданных условиях.

А число $r=1$ считается целым положительным числом?

-- Вс дек 22, 2019 01:02:25 --

gusak в сообщении #1431164 писал(а):

А поскольку с прибавлением единицы и первое $(Z - Y)^2 $, и второе $- Z\cdot Y $ число должно нацело делиться на число $r$,

то

никакого противоречия нет даже если $r>1$.

Простите, забыл уточнить: число $r$ делится на число 5.

[nnosipov]

gusak в сообщении #1431341 писал(а):

Простите, забыл уточнить: число $r$ делится на число 5.

Это действительно невозможно, но взаимная простота $Z$ и $Y$ здесь не важна.

[Shadow]

gusak в сообщении #1431341 писал(а):

Простите, забыл уточнить: число $r$ делится на число 5.

Господи! Могли же написать "могут ли оба числа $(Z-Y)^2+1$ и $ZY-1$ делится на 5".

Проверяйте возможные остатки $Y,Z$ по модулю 5.

[gusak]

nnosipov в сообщении #1431345 писал(а):

gusak в сообщении #1431341 писал(а):

Простите, забыл уточнить: число $r$ делится на число 5.

Это действительно невозможно, но взаимная простота $Z$ и $Y$ здесь не важна.

То есть, Вы хотите сказать, что действительно не могут быть одновременно справедливыми оба равенства:

1) $(Z - Y)^2 + 1 = m\cdot r$;

2) $- Z\cdot Y + 1 = (m - f)\cdot r $ ?

[nnosipov]

Если $r$ делится на $5$, то да, не могут. Но Вы этого не доказали.

[gusak]

nnosipov в сообщении #1431345 писал(а):

gusak в сообщении #1431341 писал(а):

Простите, забыл уточнить: число $r$ делится на число 5.

Это действительно невозможно, но взаимная простота $Z$ и $Y$ здесь не важна.

Если $Z$ и $Y$ имеют общие делители, то мне кажется, что эти оба выражения могут быть одновременно верными. Почему нет?

[Shadow]

Когда кажется креститься надо. В вашем случае двумя руками. Почему бы вам не поработать с числами от 0 до 4. Ну не все, конечно - только целыми.

[gusak]

nnosipov в сообщении #1431351 писал(а):

Если $r$ делится на $5$, то да, не могут. Но Вы этого не доказали.

Это мне ранее было задано, и я дошёл до своего вопроса, ответил, что "не могут", а после усомнился, и решил спросить у опытных математиков. Может быть объясните мне детально, почему "не могут" оба выражения быть верными равенствами? Со своей точки зрения. Заранее благодарен!

[nnosipov]

gusak
Вы точно сформулируйте то утверждение, которое Вас интересует. А то у Вас семь пятниц на неделе.

[gusak]

nnosipov в сообщении #1431358 писал(а):

gusak
Вы точно сформулируйте то утверждение, которое Вас интересует. А то у Вас семь пятниц на неделе.

Пожалуйста, формулирую.

Если целые положительные числа $Z$ и $Y$ - взаимно простые, причём $Z$ больше $Y$,
а числа $m, f, r$ - целые положительные, $r$ делится на 5, и число $f$ больше числа $m$,
то могут ли быть одновременно справедливыми оба равенства:

1) $(Z - Y)^2 + 1 = m\cdot r$;

2) $- Z\cdot Y + 1 = (m - f)\cdot r $ ?

[nnosipov]

gusak в сообщении #1431361 писал(а):

Если целые положительные числа $Z$ и $Y$ - взаимно простые, причём $Z$ больше $Y$,
а числа $m, f, r$ - целые положительные, $r$ делится на 5, и число $f$ больше числа $m$,
то могут ли быть одновременно справедливыми оба равенства:

1) $(Z - Y)^2 + 1 = m\cdot r$;

2) $- Z\cdot Y + 1 = (m - f)\cdot r $ ?

Ответ: не могут.