Делимость разности многочленов

[H0lger]

Пусть $f(x) = 1 + 2x + 3x^2 + \dots + 2020x^{2019} $ и $g(x)$ получается из него перестановкой коэффициентов. Можно ли добиться того, чтобы разность $f(x) - g(x)$ не делилась на 2021 при всех целых $x\geqslant2$?
По теореме Безу, очевидно, можно найти некоторые a, при которых разность $f(a) - g(a)$ делится на 2021. Однако, это не то. Нужно каким-то образом связать делимость на 2021 и коэффициенты, но ничего путного придумать не получается пока...

[DeBill]

H0lger
Ну, вот есть такое - совсем простое свойство: сумма коэф-тов многочлена - это просто его значение в точке 1...

-- 20.12.2019, 01:50 --

H0lger в сообщении #1431028 писал(а):

По теореме Безу, очевидно, можно найти некоторые a, при которых разность $f(a) - g(a)$ делится на 2021

Ааа, Вы это уже получили, да? Так что же вы еще хотите?

[Dendr]

Собственно,
$\forall p, n \in \mathbb{N}: f(np+1)\equiv f(1) (\mod p)$

Поэтому при любых (!) коэффициентах многочлена разность $f(p+1)-g(p+1)$ делится на p.

[iifat]

Dendr в сообщении #1431078 писал(а):

при любых (!) коэффициентах многочлена разность $f(p+1)-g(p+1)$ делится на p

Странный вывод. $f(x)=x+2,g(x)=x+1$. И?

[nnosipov]

iifat
$g(x)$ получен из $f(x)$ перестановкой коэффициентов, он не произволен.

[Dendr]

Придирка, видимо, относится, к слову "любых". Но если идти глубже, то там еще есть и слово "многочлена", единственное число, то есть относится к $f(x)$, из которого уже перестановкой коэффициентов формируется $g(x)$. Можно было при формулировке записывать "эф с крышкой", чтобы исключить кажущуюся независимость.
В противном случае вопрос лишён смысла: два полинома, их разность - полином и... на этом все. Это уже другая задача.

А так - утверждение задачи относится к любым исходным многочленам (с целочисленными коэффициентами, оговорюсь), не данного в условии: наперёд заданного порядка, наперёд заданного набора чисел, и даже наперёд заданного делителя.

Более того, видно, что это верно не только для перестановки коэффициентов, а для двух полиномов (можно разного порядка) с одинаковой суммой коэффициентов.