Выразить угол

[Андрей]

Здравствуйте, есть такое выражение

$\sin\varphi\cdot cos\delta\cdot sin\gamma\cdot cos\beta + sin\delta\cdot cos\gamma\cdot cos\beta + cos\varphi\cdot cos\delta\cdot sin\beta=0\

Я упростил его до такого вида

$\sin\varphi\cdot sin\gamma\ + tg\delta\cdot cos\gamma + cos\varphi\cdot tg\beta=0\

Необходимо выразить чему равен угол γ, и вообще это возможно?

[ha]

Да. $a\sin\alpha+b\cos\alpha+c=0$=>
$\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\sin\alpha+\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\cos\alpha+\frac{c}{\sqrt{a^2+b^2}}=0$=>
$\sin\theta \sin\alpha+\cos\theta \cos\alpha+\frac{c}{\sqrt{a^2+b^2}}=0$, где $\theta$ - некоторый угол. Ну а дальше получаем $\cos(\alpha-\theta)+\frac{c}{\sqrt{a^2+b^2}}=0$. Угол $\theta$ можно выразить через $a$ и $b$, но нужно рассматривать случаи.

[Алексей К.]

Небольшое уточнение.

ha писал(а):

Да. $a\sin\alpha+b\cos\alpha+c=0$=>
$\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\sin\alpha+\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\cos\alpha+\frac{c}{\sqrt{a^2+b^2}}=0$=>
$\sin\theta \sin\alpha+\cos\theta \cos\alpha+\frac{c}{\sqrt{a^2+b^2}}=0$, где $\theta$ - некоторый угол. Ну а дальше получаем $\cos(\alpha-\theta)+\frac{c}{\sqrt{a^2+b^2}}=0$. Угол $\theta$ можно выразить через $a$ и $b$, но нужно рассматривать случаи.

Вы уже выразили вспомогательный угол $\theta$
$\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}=\sin\theta,\quad \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}=\cos\theta$. Он теперь однозначно известен в полуинтервале $-\pi<\theta\le\pi$.
Никаких случаев, по-моему, рассматривать не надо, просто стандартно решать указанное Вами уравнение $\cos(\alpha-\theta)+\frac{c}{\sqrt{a^2+b^2}}=0$ относительно $\alpha$.
Приём называется введением вспомогательного угла, и может быть слегка видоизменён (чтобы получить не косинус, а синус).

Добавлено спустя 5 минут 44 секунды:

Понял, Вы говорите о случаях в смысле --- какую формулу применить для определения $\theta$. И наверное, в школьных делах это правильно. Но вообще-то существуют формулы, где случаев со знаками перебирать не надо.

[Андрей]

Сам ход мысли вроде бы понятен. Понятно что могу выразить угол θ
$\theta=arcsin(\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}})
И затем подставить в уравнение
$\cos(\alpha-\theta)+\frac{c}{\sqrt{a^2+b^2}}=0$
Но честно говоря не могу понять как из этого уравнения выразить угол $\alpha$, или если точнее как решить данное уравнение отнсительно угла $\alpha$.

Добавлено спустя 7 минут 11 секунд:

Хотя наверное так
$\cos(\alpha-\theta)+\frac{c}{\sqrt{a^2+b^2}}=0$ \alpha=\theta+arccos(-\frac{c}{\sqrt{a^2+b^2}})
Как Вы считаете это правильно?

[Алексей К.]

Нет. Предположим, у Вас получилось $\cos\theta=-\frac{1}{2}$, $\sin\theta=\frac{\sqrt{3}}{2}$. Чему равен угол $\theta$ --- только по этим данным (на координатной плоскости нарисуйте векторочек с такими проекциями, посмотрите)? И каким он получается по Вашей формуле с арксинусом, и по ненаписанной формуле с арккосинусом? Советую повторить тригонометрию, в частности --- области значений арк-функций.
В последней формуле Вы упустили многозначность решений и не уточнили, что решения может и не быть.

[Андрей]

Согласен с тригонометрией у меня есть проблемы, может посоветуете как выразить из формулы угол \alpha.

[Алексей К.]

$\alpha=\theta\pm \arccos(-\frac{c}{\sqrt{a^2+b^2}}) + 2k\pi$, где $k$ --- целое.

Угол $\theta$ "выражать" не надо. Он у Вас определён самым лучшим образом. (См. например, здесь, ниже подзаголовка Преобразование суммы (разности) тригонометрических функций в произведение:). Если Вы пишете программу, то есть функции, которые это делают по синус и косинусу (и просто по а и бэ). Если Вы пишете контрольную, то дальше Вы вправе использовать $\theta$ без всякого спиециального выражения. Ежели кто-то (по глупости) такое требует, ну, напишите что-то вроде

$$\theta=2\arctg\frac{a}{b+\sqrt{a^2+b^2}}= \left\{\begin{array}{l} \hphantom{-}\arccos\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}},\quad\mbox{если}\;a\ge 0,\\ -\arccos\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}},\quad\mbox{если}\;a\le 0. \end{array}\right.$$

Андрей в сообщении #143095 писал(а):

есть такое выражение... Я упростил его до такого вида

Ваше упрощение тоже не отличается строгостию.

[Андрей]

Так и знал что всетаки где то ошибся при упрощении. А где я там напортачил.
И что значит \mathrm{sign}\, a

[Алексей К.]

$\mathrm{sign}\, a$ больше нет. Расписал в подробностях
"А где я там напортачил?" --- Вы позволяете себе делить на $\cos\delta,\:\cos\beta$ не задумываясь над тем, что они могут быть равны нулю.
Андрей, решать такие задачи, на зная основ тригонометрии и материала за пятый класс нельзя. Надо решать другие задачи.

[Андрей]

В свое оправдание могу только сказать что точно знаю что все углы не равны нулю, а вот насчет их знаков эт конечно вопрос
Следующий вопрос наверное многих повергнет в шок, но попрошу всетаки ответить. Как я понимаю $2k\pi$ чисто математическое выражение, и при практических расчетах используем такое выражение $\alpha=\theta\pm \arccos(-\frac{c}{\sqrt{a^2+b^2}}) $. Без всяких $2k\pi$

[Алексей К.]

Андрей в сообщении #143163 писал(а):

В свое оправдание могу только сказать что точно знаю что все углы не равны нулю,

А должен был написать ---

Никто не писал(а):

В свое оправдание могу только сказать что точно знаю что все углы не прямые,

Это было бы действительно оправдание.
Ничего упрощать там не надо. Всё и так просто. Переходя к тангенсам (если делать это аккуратно), Вы только усложняете дело.

Я не знаю, что такое "чисто математическое выражение". Наверное, результат каких-то Ваших заблуждений. Это --- описание решений уравнения.
Если какой-то конкретной практике нужны какие-то свои значения, пусть она выбирает. О Вашей практике ничего не известно.

У последней автодороги, кторую я считал, переходная кривая закручивалась почти на 600 градусов (она поднималась над собой), и я работал именно с такими углами. Заменив его на $-120^\circ$, я бы получил неверный результат, ибо в расчётах присутствуют, например, выражения $\frac{\sin\rho}{\rho}$.

А когда я леплю треугольные чебуреки, то не заморачиваюсь даже знаками. Быстренько по теореме косинусов сосчитал чего надо, тяп-ляп --- и готово. Транспортир у меня такой, что его краем можно сразу резать тесто.