Непрерывная вероятность - треугольник.

[umarus]

Здравствуйте! Пожалуйста, помогите с правильным ответом.
Задача. Возьмите палку единичной длины и разбейте ее на две части, выбирая точку разрыва наугад (случайно). Теперь разбейте длинную из двух частей в случайной точке.
Какова вероятность того, что три части могут быть использованы для формирования треугольника?

Мое решение:
1. Все стороны должны быть не больше $ \frac{1}{2}\ $
2. Пусть $0 \le x_1 \le x_2 \le 1$ и $ x_1 \le \frac{1}{2}\ $ (короткая часть).
3. Теперь для второй части дожно выполняться $ {x_2} - {x_1} \le \frac{1}{2}\ $ и $ 1 - {x_2} \le \frac{1}{2}\ $
4. Решаем неравества и ответ $ \frac{3}{8}\ $.

Все правильно?

[svv]

Как я понял, длины сторон треугольника равны $x_1, x_2-x_1, 1-x_2$.

umarus в сообщении #1430603 писал(а):

Решаем неравества и ответ $ \frac{3}{8}\ $.

Как Вы получили это число из системы неравенств?
Предположу, что Вы на плоскости построили область $\Gamma$, где точки с декартовыми координатами $(x_1, x_2)$ удовлетворяют всем Вашим неравенствам. И нашли её площадь.

Если так, то — неправильно. В этих координатах вероятность попадания в некоторую область (все точки которой допустимы) не пропорциональна её площади. Вероятности попадания в две равновеликие области неодинаковы.

[gris]

я чуть-чуть добавлю. Когда некоторое рассуждение предлагается в качестве решения, то нужно определиться с требовательностью вашего читателя или слушателя. В дружеской беседе можно опускать очевидные детали, а преподаватель на экзамене может придраться к отсутствию формальностей (для вашей же пользы ).
Например, нет неравенства треугольника. Конечно, если все три отрезка меньше половины, то оно заведомо выполняется. Но это надо явно прописать.
Второе: случай первого же деления палки на равные части. Конечно, вероятность этого равна нулю, но чисто формально случай удовлетворяет вашим неравенствам, но треугольник-то вырожденный получается. Можно дополнительно оговорить.
Третье уже сказали. При применении геометрического метода надо бы показать равновозможность всех точек (либо задать плотность распределения).
Ну и да, в "беловом" решении надо получить ответ явно.
Задача наверняка известная и отражает влияние способа получения обломков на окончательную вероятность. Может быть, и на форуме обсуждалось. Но навскидку не помню Зашибло...

[--mS--]

gris в сообщении #1430625 писал(а):

Задача наверняка известная и отражает влияние способа получения обломков на окончательную вероятность. Может быть, и на форуме обсуждалось. Но навскидку не помню Зашибло...

Конечно, известная. У Гарднера есть в "Математических головоломках и развлечениях", у Боровкова в "Теории вероятностей" (1986, пример 23 параграфа 9 гл. 4), да и тут обсуждалась: topic77745.html

[gris]

А вот я её помоделирую

n=0;
for (k=1; k < 1000001; k++){
   a=Math.random()*0.5; 
   b=Math.random()*(1-a); 
   c=1-a-b; 
   if (((a+b)>c) and ((b+c)>a) and((a+c)>b))  {n=n+1;}
}
trace (n*0.000001);

0.386

В упомянутой свыше теме ищется, наверное, вероятность противоположного события. Если меня сложить с Утундрий (я, конечно, меньше), то получится единичка!
Так что, хотя ответ близок к ответу ТС, но в чистой теории там логарифм и всё такое.

[umarus]

Спасибо всем за помощь!