Интегрирование членов функционального ряда.

[Norma]

В условии теоремы даны только два условия:
1)$a_n(x)$ интегрируемы на $[a,b]$
2)Сумма функционального ряда $A(x)$ равномерно сходится на $[a,b]$.

В доказательстве используется критерий Лебега. Так как $a_n(x)$ интегрируемы на $[a,b]$, то множество точек разрыва каждой из $a_n(x)$ имеет меру нуль. Значит, объединение счетного числа таких множеств(для каждой $a_n(x)$) имеет меру нуль. И дальше в теореме говорится, что $A(x)$ интегрируема по Риману по критерию Лебега. Но для выполнения критерия Лебега нужна ограниченность функции $A(x)$, а это в общем случае не верно для суммы функционального ряда.

[Otta]

Norma в сообщении #1430398 писал(а):

ограниченность функции $A(x)$

Из определения равномерной сходимости сразу следует.

[Norma]

Otta
Из определения не получается вывести. И тем более можно привести пример: $f(x)+0+0+...$ равномерно сходится к $f(x)$, но $f(x)$ - произвольная функция

[mihaild]

Norma в сообщении #1430410 писал(а):

но $f(x)$ - произвольная функция

Но изначальные функции были ограничены. А равномерно сходящийся ряд из ограниченных функций сходится к ограниченной функции (т.к. остаток равномерно стремится к нулю, а сумма первых членов ограничена).

[Norma]

mihaild
Начиная с некоторого номера, модуль остатка можно сделать меньше любого наперед заданного числа. Но отсюда не следует, что он ограничен при всех натуральных $n$.

[Otta]

Norma в сообщении #1430410 писал(а):

И тем более можно привести пример: $f(x)+0+0+...$

И где противоречие? и с чем?

Напишите определение.

[Norma]

Otta
Такое определение $\forall \;\; \varepsilon>0 \;\; \exists N \;\; \forall n>N \;\; \forall x \in X \;\; |A_n(x)-A(x)|<\varepsilon$

[Otta]

Ну раз для любого, значит, и для $\varepsilon =1$.
Не вижу проблем. Не надо говорить об остатке, когда Вас интересует ограниченность $A$. Занимайтесь ею.

[Norma]

Otta
Это выполняется, начиная с некоторого номера, а ограниченность должна быть для любого $n$

[Otta]

Norma
$A$ не зависит ни от каких номеров. Напишите, как Вы рассуждаете.

[Norma]

Otta
Начиная с некоторого номера $N$, выполнено неравенство: $|A_n(x)-A(x)|<\varepsilon=1$. Так как $A_n(x)$ - ограниченная величина, то, начиная с номера $N$: $ A(x)$ -ограниченна(следует из неравенства).

[Otta]

Norma в сообщении #1430443 писал(а):

то, начиная с номера $N$: $ A(x)$ -ограниченна

Так $A$ не зависит от номера
О каком номере сейчас речь?

-- 16.12.2019, 01:06 --

Мне кажется, Вы бы лучше все увидели и прониклись, явно обозначив и записав все константы, которыми все функции, которые Вы вспомнили, ограничены.

[Norma]

Otta
Точно, большое спасибо!

[Otta]

Да не за что.

[Padawan]

и без критерия Лебега интегрируемость $A(x)$ легко доказывается, стандартным критерием $\lim\limits_{\lambda(T)\to 0}(S(T)-s(T)) =0$

-- Пн дек 16, 2019 16:43:59 --

Norma в сообщении #1430398 писал(а):

нужна ограниченность функции $A(x)$, а это в общем случае не верно для суммы функционального ряда.

Предел равномерно сходящейся последовательности ограниченных функций ограничен.