Сходимость PowerTower x_{n+1}=x^{x_n}

[e7e5]

Вот такая задачка:
"При каких положительных $x$ сходится последовательность $x_1=x$,
$x_{n+1}=$$x^{x_n}$?"

Если выписать несколько членов последовательности по условию, то получается, что положительное число будем какждый раз возводить в степень. А эта степень равна значению предыдущего члена последовательности. А дальше, куда двигаться?

[ewert]

Попробуйте интерпретировать эту задачу как метод сжимающих отображений для уравнения $t=f(t)$, где $f(t)\equiv x^t$, причём $t$ -- переменная и $x$ -- параметр.

[e7e5]

ewert писал(а):

Попробуйте интерпретировать эту задачу как метод сжимающих отображений для уравнения $t=f(t)$, где $f(t)\equiv x^t$, причём $t$ -- переменная и $x$ -- параметр.

Т.е иными словами нужно искать неподвижную точку сжимающего отображения, используя принцип неподвижной точки Пикара-Банаха?

[ewert]

e7e5 писал(а):

ewert писал(а):

Попробуйте интерпретировать эту задачу как метод сжимающих отображений для уравнения $t=f(t)$, где $f(t)\equiv x^t$, причём $t$ -- переменная и $x$ -- параметр.

Т.е иными словами нужно искать неподвижную точку сжимающего отображения, используя принцип неподвижной точки Пикара-Банаха?

Это была всего лишь идея. Которая, во всяком случае, даёт некоторый вполне определённый промежуток для иксов, за пределами которого сходимости уж точно не будет.
Как конкретно доказать сходимость в каждой точке этого промежутка (и даже: действительно ли она есть) -- не думал.

[ИСН]

Боян. http://mathworld.wolfram.com/PowerTower.html

[Bard]

Эту задачу можно найти в книге
Алексеев В.М. (ред.) Избранные задачи из журнала "American Mathematical Monthly" 1977,
которую можно найти с помощью сайта
http://www.poiskknig.ru.
Ответ:

\[ e^{ - e} \le x \le e^{{1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 e}} \right. \kern-\nulldelimiterspace} e}} \]

[e7e5]

Bard писал(а):

Эту задачу можно найти в книге
Алексеев В.М. (ред.) Избранные задачи из журнала "American Mathematical Monthly" 1977,
которую можно найти с помощью сайта
http://www.poiskknig.ru.[/math]

Спасибо за книжку!
Вы можете выписать основные наметки решения ? Не могу достучаться до книжки... все очень медленно работает.

[Bard]

Удобней начальное значение обозначить буквой

\[a\]

.
Рассматриваются два случая:
1)

\[0 < a < 1\]

2)

\[1 \le a\]

.
В первом случае доказывается, подпоследовательность с нечётными индексами возрастает и ограничена, а подпоследовательность с четными индексами убывает. Пусть пределы равны

\[x\]

и

\[y\]

соответственно. Тогда

\[x \le y\]

и

\[a^x = y,\;a^y = x.\]

(1)
Предел существует, если

\[y = x\]

. Это означает, что кривые пересекаются в одной точке. Отсюда получаем для

\[a\]

ограничение снизу.
Во втором случае получаем возрастающую последовательность. Опять следует рассмотреть графики (1). Вообще, по этим графикам легко проследить за последовательностью.