Странный интеграл

[ShnurDash]

Здравствуйте, не подскажите, как можно найти решения данного интеграла:

$$\int\limits_{0}^{x}t(x-t)^{i-1}dt$$

? Не помогли ни преобразования, ни стандартные подходы. i - мнимая единица. Переменные действительные. Спасибо заранее.

[DeBill]

Какая гадость, этот Ваш интеграл...
Надо, конечно, определиться с выбором ветви этой "степени"..
Ну, а вообще, сводится к Бэта-функции (и тогда уж - к Гамма-функции ) - но - в комплексной области.
Так что, главный остающийся вопрос: что есть $\Gamma(i)$ ?

-- 10.12.2019, 00:11 --

А впрочем, для Гаммы - есть формула "понижения"....

[ShnurDash]

Можете немножко по-подробнее.

[DeBill]

ShnurDash в сообщении #1429433 писал(а):

Можете немножко по-подробнее

Не, не могу: модераторы заругают...
Но могу вопросы позадавать:
Знаете ли Вы что есть Бэта-функция? Гамма-функция? Как они связаны? Какие свойства у Гаммы?
(Всё - входит в стандартный курс матана).
Будут ответы - будет и разговор. А так - нет.

[ShnurDash]

Гамма - обобщение факториала на действительные и комплексные числа. Бетой можно биномиальные коэффициенты. У гаммы есть рекуррентное соотношение:$\Gamma (x+1) = x\Gamma(x)$. Гамма и Бэта связанны следующим соотношением: $\mathbf{B}(x,y)=\frac{\Gamma(x)\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)}$

-- 09.12.2019, 23:29 --

Просто в бэте в скобках 1, а у нас x. Как придти к бэте?

[DeBill]

ShnurDash в сообщении #1429438 писал(а):

У гаммы есть рекуррентное соотношение:$\Gamma (x+1) = x\Gamma(x)$. Гамма и Бэта связанны следующим соотношением: $\mathbf{B}(x,y)=\frac{\Gamma(x)\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)}$

Это хорошо. Но кто ж такая Бэта (точно, пожалуйста). И вот когда будет формула для нее, попробуем Ваш интеграл к ней и свести...

-- 10.12.2019, 00:38 --

Ну есть же Вика, в конце концов - если в школе материал пропустили...

[ShnurDash]

Вот формула неполной беты (в полной вместо икса 1):

$$\mathbf{B}(a,b)=\int\limits_{0}^{x}t^{a-1}(1-t)^{b-1}dt$$

[DeBill]

А вообще - да, есть проблемы (и помимо выбора ветви ): интеграл то - расходящийся!
Ну, или надо отдельно определять, в каком смысле его надо понимать..
И вообще - по какому предмету (откуда) эта задачка?

-- 10.12.2019, 00:52 --

ShnurDash в сообщении #1429440 писал(а):

Вот формула неполной беты

Ну и прекрасно (забьем временно на то, что интеграл то Ваш не существует): сделайте в Вашем интеграле подстановку $t=x\tau$, и сравните с (полной) бэтой...

[mihiv]

А что мешает сделать замену $x-t=u?$

[DeBill]

Да ничего не мешает...Так же и интегрирование по частям приводит к цели.
То бишь - считается даже неопределенный интеграл...
А ТС то говорил - что все он перепробовал вот я и предложил ему из пушки стрелять.
Однако беда остается: интеграл неопределенный мы сосчитали, а с определенным - проблемы: несобственный он и расходящийся, навроде...

[mihiv]

DeBill в сообщении #1429497 писал(а):

с определенным - проблемы: несобственный он и расходящийся.

Разве что считать его как:

$$\lim _{\varepsilon \to 0 }\int\limits_{0}^{x}t(x-t)^{i-1+\varepsilon }dt$$

[DeBill]

mihiv
может быть (не смотрел).