Обобщенный пуассоновский процесс

[alcoholist]

Собственно, что это? Посмотрел пару-тройку книжек, единого мнения не нашел, где-то обобщенный и сложный ПП -- разные процессы, где-то синонимы. Есть ли какое-то общепринятое значение термина, по крайней мере в преподавании?

[Otta]

По-моему, в Тихонов В. И. и Миронов М. А. Марковские процессы про это хорошо.
Попыталась написать, но лучше прочитать там, для адекватной передачи придется копипастить, смысла нет.

[alcoholist]

Otta
спасибо! мне и нужен был источник

[alcoholist]

Что-то я всё равно не понимаю. Кусок процитированной книги, соответствующий сабжу, переписан из книжки 1962г. (20 лет назад переиздана Parzen, E., Stochastic Processes, Classics in Applied Mathematics, Vol. 24, SIAM, 1999).
Определение обобщенного ПП мудреное, но характеристическая функция имеет вид

$$ \Phi_{M_t}(\Omega)=\exp\left(\nu t(\varphi_X(\Omega)-1)\right), $$

где $\varphi_X(\Omega)$ -- характеристическая функция некоторой с.в. $X$.
Однако далее определяется сложный ПП как имеющий вид

$$M_t=\sum_{k=1}^{N_t}X_k,$$

где $X_k$ -- одинаково распределенные с.в., а процесс $\{N_t:t\ge 0\}$ -- обычный ПП. Так вот в случае, когда $X_k\sim X$, характеристические функции обобщенного и сложного процессов идентичны. Так в чем разница?

[ShMaxG]

alcoholist
Согласно определениям из этой книги, разница между ними в том, что у обобщенного процесса $X_k$ -- это целочисленные случайные величины, а у сложного процесса -- произвольные. Об этом в книге сказано на странице 422 (т.е. в конце параграфа), да и из текста это тоже прямо следует -- когда приводится характеристическая функция обобщенного процесса, там функция фи не произвольная хар. функция, а имеющая определенный вид (формула 30.75).

[ShMaxG]

alcoholist
Что касается сабжа, на лекциях на ФУПМе мы даем определение сложного процесса Пуассона, которое совпадает с понятием сложного процесса в книге у Тихонова и с понятием обобщенного процесса у Феллера (см. Том 2 его "Введения в теорию вероятностей и ее приложения"). Это понятие нам нужно в его связи с безгранично делимыми распределениями (пределы последовательностей распределений таких процессов совпадают с безгранично делимыми распределениями и их пределами).