2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Когомологии
Сообщение07.12.2019, 01:00 


09/12/16
146
Пытаюсь разобраться с умножением в когомологиях.
Необходимо построить клеточное разбиение и посчитать алгебру $H^*((\mathbb{C}P^1)^n)$. Кольцо $R$.
Клеточное разбиение такое: клеток размерности $2k$ будет $\binom{k}{n}$ штук, $k\leqslant n$. В других размерностях клеток не будет.
Строим клеточный комплекс, дуализируем. Все кограничные отображения нулевые, значит когомологии такие:
$H^{2k}=R^{\binom{k}{n}}$, остальные нулевые. Верно?
А вот как посчитать произведения - не знаю.
Определение на лекциях такое:
$p\in C^k(X,R); q\in C^l(X,R)$ - коцепи, $f:\Delta_{k+l}\to X$ - сингулярный симплекс.
Тогда $(p\cup q)(f)=p(f\mid [\nu_0,...,\nu_k])q(f\mid [\nu_k,...,\nu_{k+l}])$.
Ещё для клеточных комплексов вводили его через диагональное вложение, но это только первая задача, поэтому думаю здесь надо как-то "руками" посчитать. Может кто помочь?

 Профиль  
                  
 
 Re: Когомологии
Сообщение07.12.2019, 11:14 
Заслуженный участник


14/10/14
1207
Nickspa в сообщении #1429140 писал(а):
Все кограничные отображения нулевые, значит когомологии такие:
$H^{2k}=R^{\binom{k}{n}}$, остальные нулевые. Верно?
Верно, только вверх ногами пишете.

В клеточных когомологиях просто считается внешнее произведение $H^*(X,R)\otimes_R H^*(Y,R)\xrightarrow{\times} H^*(X\times Y,R)$, и в вашей ситуации это изоморфизм колец, смотрите, например, Хатчера.

 Профиль  
                  
 
 Re: Когомологии
Сообщение08.12.2019, 01:35 


09/12/16
146
Slav-27 в сообщении #1429158 писал(а):
смотрите, например, Хатчера.

Что-то я запутался. Просто в Хатчере путанно (по крайней мере для меня). По полкам не раскладывается. Даже не знаю, как поконкретнее спросить. Ну попробую.
Для того, чтобы посчитать алгебру когомологий, я должен задать отображения
$H^k((\mathbb{C}P^1)^n,R)\times H^l((\mathbb{C}P^1)^n,R)\to H^{k+l}((\mathbb{C}P^1)^n,R)$?
Существует два произведения: $\cup$-произведение и внешнее произведение. Они связаны: $\cup$ - это композиция внешнего и индуцированного диагональным вложением.
Мне-то какое здесь нужно?
Мне, наверное, на конкретных когомологиях здесь было бы понятнее.
Например, $H^2((\mathbb{C}P^1)^n,R)\times H^4((\mathbb{C}P^1)^n,R)\to H^6((\mathbb{C}P^1)^n,R)$.
То есть $R^n\times R^{\binom{n}{2}} \to R^\binom{n}{3}$.
Я ведь должен взять образующие $\alpha\in H^2,\beta\in H^4$ и показать куда они переходят в $H^6$, так ведь?
Slav-27 в сообщении #1429158 писал(а):
в вашей ситуации это изоморфизм

Почему?

 Профиль  
                  
 
 Re: Когомологии
Сообщение08.12.2019, 19:01 
Заслуженный участник


14/10/14
1207
$\times$-произведение -- это гомоморфизм колец $H^*(X)\otimes H^*(Y)\to H^*(X\times Y)$, доказывается более-менее по определению (а определения разные бывают). (Определение тензорного произведения колец смотрите у Хатчера около теоремы 3.16.)

Далее, в нашей ситуации этот гомоморфизм является изоморфизмом абелевых групп, так как когомологии свободны: вообще это теорема Кюннета, но тут можно и руками проверить.

Отсюда всё получается: гомоморфизм колец, являющийся изоморфизмом подлежащих абелевых групп, есть изоморфизм колец.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 4 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group