несобственные интегралы

[tanton]

Помогите пожалуйста!
нужно решить несколько несобственных интегралов:
\int\limits_{0}^{\infty}{ \frac {(x\cos(x))^4} {e^{2x}} dx}
\int\limits_{\pi/2}^{\pi}{ \frac {dx} {\sqrt{1 - \sin(x)}}}
\int\limits_{e}^{\infty}{ \frac {\ln(x+1) - \ln(x)} {5\ln^3(x) + 3\ln(x)} dx}

Подскажите хотя бы в какую сторону копать.
у меня есть некоторые мысли по поводу последнего интеграла.

\int\limits_{e}^{\infty}{ \frac {\ln(x+1) - \ln(x)} {5\ln^3(x) + 3\ln(x)} dx} =\int\limits_{e}^{\infty}{ \frac {\ln(1 + \frac 1 x)} {\ln^3(x)(5 + \frac 3 {\ln^2(x)})} dx}
при x \to \infty функция { $\frac {\ln(1 + \frac 1 x)} {\ln^3(x)(5 + \frac 3 {\ln^2(x)})}} эквивалента $\frac {1}{x\ln^3(x)}
получившуюся функцию можно сравнить с интегралом дирехле $\frac {1}{x\ln^3(x)} \leqslant \frac{1}{x}
т к $\frac{1}{x} расходится, то интеграл тоже расходится.

второй интеграл, похоже, надо разложить в ряд, а я толком не знаю как это делать.
Если вы подкинете ссылки на примеры, задачи или может быть какуй-нибудь литературу по несобственным интегралам это будет просто замечательно.
Особенно хотелось бы где-нибудь почитать о применение разложения в ряд.

[Brukvalub]

tanton в сообщении #142787 писал(а):

нужно решить несколько несобственных интегралов

Как это - решить? Интегралы не решают, их вычисляют, преобразуют, исследуют на сходимость...

Добавлено спустя 2 минуты 7 секунд:

tanton в сообщении #142787 писал(а):

получившуюся функцию можно сравнить с интегралом дирехле $\frac {1}{x\ln^3(x)} \leqslant \frac{1}{x}
т к $\frac{1}{x} расходится, то интеграл тоже расходится.

Вы неверно применяете признак сравнения.

[Бодигрим]

Например, первый интеграл удобно сравнить на бесконечности с

$$\int_0^{\infty} e^{-x}\,dx = -e^{-x}\mid_0^{\infty}=1 $$

.

Добавлено спустя 6 минут 28 секунд:

tanton в сообщении #142787 писал(а):

Подскажите хотя бы в какую сторону копать.

Для начала, как вам уже указал Brukvalub, было бы неплохо разобраться, что же именно утверждает и в какую сторону работает признак сравнения.

[ewert]

Ну и, наконец, насчёт второго: корень из единицы минус синус -- это некий синус или там косинус, который в окрестности корня знаменателя ведёт себя как первая степень аргумента. Что это означает?

[AD]

tanton писал(а):

$\frac {1}{x\ln^3(x)} \leqslant \frac{1}{x}$
т к $\frac{1}{x}$ расходится, то интеграл тоже расходится.

$0\leqslant \frac1x$, и т.к. $\frac1x$ расходится, то интеграл от тождественного нуля тоже расходится

Добавлено спустя 2 минуты 1 секунду:

А вообще ведь, понимаете, этот интеграл $\int\frac{dx}{x\ln^3x}$ можно взять заменой $\frac{dx}x=d(\ln x)$. И будет ясно, сходится он или расходится.

Добавлено спустя 1 минуту 4 секунды:

При условии, что перед этим всё было правильно.

[tanton]

Спасибо всем ответившим!

Brukvalub писал(а):

tanton в сообщении #142787 писал(а):

нужно решить несколько несобственных интегралов

Как это - решить? Интегралы не решают, их вычисляют, преобразуют, исследуют на сходимость...

я имел ввиду исследовать на сходимость

ewert писал(а):

Ну и, наконец, насчёт второго: корень из единицы минус синус -- это некий синус или там косинус, который в окрестности корня знаменателя ведёт себя как первая степень аргумента. Что это означает?

т е можно сделать вот такое преобразование?
\int\limits_{\pi/2}^{\pi}{ \frac {dx} {\sqrt{1 - \sin(x)}}}
\int\limits_{\pi/2}^{\pi}{ \frac {dx} {\sqrt{1 - \cos(\pi/2 - x)}}}
что эквивалентно
\int\limits_{\pi/2}^{\pi}{ \frac {\sqrt{2} dx} {\pi/2 - x}}
после чего находим интеграл и приходим к выводу, что он расходится.

AD писал(а):

А вообще ведь, понимаете, этот интеграл $\int\frac{dx}{x\ln^3x}$ можно взять заменой $\frac{dx}x=d(\ln x)$. И будет ясно, сходится он или расходится.

точно! после замены переменной получаем интеграл дирихле \int\limits_{1}^{\infty}{ \frac {dt} {t^3}} c \alpha > 1, соответственно сходится.

AD писал(а):

При условии, что перед этим всё было правильно.

Вроде бы все логично

Бодигрим писал(а):

Например, первый интеграл удобно сравнить на бесконечности с

$$\int_0^{\infty} e^{-x}\,dx = -e^{-x}\mid_0^{\infty}=1 $$

Вот тут я что-то неразобрался. как мы можем определить, что $\frac {x^4} {e^{2x}} меньше или больше $e^{-x} ?

[Бодигрим]

Ясно, что, начиная с некоторого $x_0$, в силу того, что экспонента растет быстрее любой наперед заданной степенной функции выполняется $x^4<e^x$. Отсюда при $x\ge x_0$ имеем $x^4e^{-2x}<e^x e^{-2x}=e^{-x}$. Осталось записать, что

$$ \int_0^\infty x^4e^{-2x}\,dx < \int_0^{x_0} x^4e^{-2x}\,dx + \int_{x_0}^\infty e^{-x}\,dx $$

, где первый интеграл конечен, а второй может быть явно вычислен.

[ewert]

tanton писал(а):

т е можно сделать вот такое преобразование?
\int\limits_{\pi/2}^{\pi}{ \frac {dx} {\sqrt{1 - \sin(x)}}}
\int\limits_{\pi/2}^{\pi}{ \frac {dx} {\sqrt{1 - \cos(\pi/2 - x)}}}
что эквивалентно
\int\limits_{\pi/2}^{\pi}{ \frac {\sqrt{2} dx} {\pi/2 - x}}
после чего находим интеграл и приходим к выводу, что он расходится.

Да.