Введем фундаментальное понятие равномерной непрерывности фун

[demolishka]

Mikhail_K в сообщении #1428878 писал(а):

Нет, интересуют конечно же нелинейные. Может быть кто-то знает?

Пусть $\varphi^{t} \colon \mathcal{M} \to \mathcal{M}$, $t \in \mathbb{R}$, есть поток на компактном метрическом пространстве $\mathcal{M}$, которое к тому же 1) минимально (все движения всюду плотны) 2) состоит из почти периодических движений (что равносильно двусторонней устойчивости потока, т. е. равностепенной непрерывности семейства $\{ \varphi^{t} \}$). Тогда на $\mathcal{M}$ можно ввести структуру компактной связной абелевой группы следующим образом. Зафиксируем произвольный элемент $u_{0} \in \mathcal{M}$, который будет исполнять роль нуля. Для двух элементов $u,v$ орбиты $\gamma(u_{0})=\{ \varphi^{t}(u_{0}) \ | \ t \in \mathbb{R} \}$, где $u=\varphi^{t}(u_{0})$ и $v=\varphi^{s}(u_{0})$ положим $u + v := \varphi^{t+s}(u_{0})$. Таким образом мы определили операцию $+$ на множестве $\gamma(u_{0}) \times \gamma(u_{0})$, которое всюду плотно в $\mathcal{M} \times \mathcal{M}$ в силу минимальности. Двусторонняя устойчивость означает, что операция $+$ равномерно непрерывна на $\gamma(u_{0}) \times \gamma(u_{0})$ и потому единственным образом продолжается на $\mathcal{M} \times \mathcal{M}$. Другими словами, для $u, v \in \mathcal{M}$ и любой последовательности $t_{k}$ и $s_{k}$, где $\varphi^{t_{k}}(u_{0}) \to u$, $\varphi^{s_{k}}(u_{0}) \to v$, величина $u + v := \lim\limits_{k \to \infty} \varphi^{t_{k}+s_{k}}(u_{0})$ корректно определена, не зависит от $t_{k}$ и $s_{k}$ и операция $+$ непрерывна на $\mathcal{M} \times \mathcal{M}$. Проверить аксиомы абелевой группы для $(\mathcal{M},+)$ не представляет труда (они очевидны на исходном всюду плотном множестве и сохраняются при предельном переходе).

Ну и еще один нелинейный пример это построение канторовой лестницы (это указано в источнике из первого поста).

Alexey Rodionov в сообщении #1428887 писал(а):

Так зачем говорят про равномерную непрерывность в базовых курсах анализа?

Теорема Кантора и ее приложения (например, интегрируемость по Риману непрерывных функций).

[vpb]

Alexey Rodionov в сообщении #1428887 писал(а):

Так зачем говорят про равномерную непрерывность в базовых курсах анализа?

Затем, что в самом анализе и в его приложениях есть стопицот мест, где это понятие нужно явно, а еще чаще неявно. Вот я, например, сейчас пять минут полистал книжку по оптимизации, и тут же встретил место, где оно необходимо. И т.д. В большинстве исследований, свзанных с анализом, оно каким-то боком появится. Выше уже коллеги привели несколько примеров.

[pogulyat_vyshel]

Вот еще одна важная теорема, основанная на понятии равномерной непрерывности, она вытекает из наблюдения, что я там выше сформулировал.

Пусть $(X,\|\cdot\|)$ -- банахово пространство, и отображение $f(t,x)\in C([t_0,t_1]\times B_r,X)$ (равномерно по $t$) локально липшицево по второму аргументу. ($B_r$ -- открытый шар радиуса $r$ с центром в некоторой точке $\hat x$.)
Кроме того $\sup_{(t,x)\in [t_0,t_1]\times B_r}\|f(t,x)\|<\infty.$

Теорема. Пусть $x(t)$ -- решение задачи Коши

$$\dot x=f(t,x),\quad x(t_0)=x_0\in B_r;$$

и это решение определено на интервале $[t_0,t^*),\quad t^*<t_1$ и не продолжается правее $t^*$. Тогда
существует $\lim_{t\to t^*-}x(t)=\tilde x$ и $\tilde x\in\partial B_r.$

[ewert]

Alexey Rodionov в сообщении #1428768 писал(а):

А что на этом понятии строится?

Не "что строится", а "зачем нужно". Нужно в тех случаях (весьма многочисленных), когда требуется переставлять два предельных перехода. Например, из непрерывности функций, входящих в некоторую последовательность, ещё не следует непрерывность предела последовательности-- именно потому, что конфликтуют два разных и никак изначально не связанных предельных перехода: предел, определяющий непрерывность и предел самой последовательности. Если же усилить просто непрерывность до равномерной, то этот конфликт снимается. По той же причине равномерность нужна для возможности почленного дифференцирования или интегрирования функционального ряда (не то что бы необходима, но это -- наиболее простое и при этом достаточно универсальное из возможных дополнительных требований). Упоминавшаяся здесь интегрируемость непрерывных функций -- из той же серии, правда, несколько замаскированной. Для существования интеграла нужно, чтобы значения функции хоть в каком-нибудь смысле стабилизировались; иными словами, нужна хоть какая-то, но непрерывность. Однако просто непрерывности недостаточно -- нельзя просто так менять местами предел функции и предел интегральных сумм. А вот если непрерывность равномерна, то уже можно.

[Alexey Rodionov]

Alexey Rodionov в сообщении #1428887 писал(а):

Так зачем говорят про равномерную непрерывность в базовых курсах анализа?

Теорема Кантора и ее приложения (например, интегрируемость по Риману непрерывных функций).

О ! Вот оно! Прямо по вене пошло. Спасибо большое Demolishka.

[Brukvalub]

Alexey Rodionov в сообщении #1428966 писал(а):

например, интегрируемость по Риману непрерывных функций

Этот факт прямо следует из критерия Лебега интегрируемости по Риману, так что здесь можно обойтись и без понятия равномерной непрерывности.
А вот такое обобщение равномерной непрерывности как равностепенная непрерывность семейства нужна в критерии Арцела-Асколи предкомпактности семейства непрерывных на отрезке функций. Этот критерий используется в некоторых доказательствах т. Пеано о существовании решения задачи Коши в ОДУ и в критерии Монтеля о предкомпактности (нормальности) семейства мероморфных в области функций, что открывает широкие горизонты для изучения итераций, граничных свойств и т.п.

[george66]

(Оффтоп)

Один студент в библиотеке спрашивал книгу "Происхождение выр". Нам, говорит, задали. Автор кто? "Гордеев". Библиотекарша смотрит, у него записано "Происхождение выр. Гордеев У" И вот она поняла! Происхождение выражения "гордиев узел".