Опровержение гипотезы Билла

[artez]

Утверждается, что если равенство
a^x + b^y = c^z (1)
при натуральных $x, y, z$ больших $2$,
является верным для натуральных значений $a, b, c$ то эти числа имеют общий простой делитель.
Обозначим общий простой делитель как $q_1
Тогда a = a_1q_1^{s_1}, b = b_1q_1^{s_2}, c = c_1q_1^{s_3}, где
$a_1, b_1 и c_1$ не имеют этого общего простого делителя q_1.
Кроме того, s_1s_2s_3 \neq 0 и s_1, s_2, s_3 определены однозначно.
Равенство (1) примет вид
(a_1q_1^{s_1})^x + (b_1q_1^{s_2})^y = (c_1q_1^{s_3})^z, или
q_1^{s_1x}(a_1)^x + q_1^{s_2y}(b_1)^y = q_1^{s_3z}(c_1)^z (2)

Между натуральными числами s_1x, s_2y, s_3z возможны следующие соотношения:
a) Все три числа разные, тогда между ними есть наименьшее. Пускай, для определенности, это число s_1x
(если s_2y – то это не изменит вывода).
Поделим (2) на q_1^{s_1x}
(a_1)^x + q_1^{s_2y - s_1x}(b_1)^y = q_1^{s_3z - s_1x}(c_1)^z, или
(a_1)^x = q_1^{s_3z - s_1x}(c_1)^z - q_1^{s_2y - s_1x}(b_1)^y (3)
так как s_3z - s_1x \neq 0 и s_2y - s_1x \neq 0, то правая часть (3) делиться на q_1, а левая – нет. Противоречие.
Если меньшим является число s_3z,то поделим (2) на s_3z
q_1^{s_1x - s_3z}(a_1)^x + q_1^{s_2y - s_3z}(b_1)^y = (c_1)^z (4)
так как s_1x - s_3z \neq 0 и s_2y - s_3z \neq 0,то левая часть (4) делиться на q_1, а правая - нет. Противоречие.
Случай а) является невозможным.

б) Между числами s_1x, s_2y, s_3z есть два равных.
Пусть s_1x = s_2y, а s_3z < s_1x
Делим (2) на q_1^{s_3z}
q_1^{s_1x - s_3z}(a_1)^x + q_1^{s_2y - s_3z}(b_1)^y = (c_1)^z (5)
так как s_1x - s_3z \neq 0 и s_2y - s_3z \neq 0, то левая часть (5) делиться на q_1, а правая - нет. Противоречие.
Если s_3z > s_1x, то делим (2) на q_1^{s_1x}
(a_1)^x + (b_1)^y = q_1^{s_3z - s_1x}(c_1)^z (6)
s_3z - s_1x \neq 0 Правая часть (6) делиться на q_1, а левая - нет. Противоречие.
Если s_3z = s_1x, а s_2y < s_1x, то делением (2) на q_1{s_2y} получим
q_1^{s_1x - s_2y}(a_1)^x + (b_1)^y = q_1^{s_3z - s_2y}(c_1)^z, или
(b_1)^y = q_1^{s_3z - s_2y}(c_1)^z - q_1^{s_1x - s_2y}(a_1)^x (7)
s_3z - s_2y \neq 0 и s_1x - s_2y \neq 0
Левая часть (7) не делиться на q_1, а правая делиться. Противоречие.
Если s_3z = s_1x, а s_2y > s_1x, то делением (2) на q_1{s_1x} также получим такое же противоречие.
Если s_2y = s_3z, то аналогичные рассуждения приводят к тому же противоречию.
Случай б) невозможен.

с) Все три числа равны s_1x = s_2y = s_3z = s, тогда (2) примет вид
q_1^s(a_1)^x + q_1^s(b_1)^y = q_1^s(c_1)^z, или a_1^x + b_1^y = c_1^z
Таким образом, тройка чисел a_1, b_1, c_1 есть решение уравнение (1) при тех же x, y, z.
При этом a_1, b_1, c_1 имеют другие общие делители q_1, q_2, \ldots, q_n,
то последовательно повторяя предыдущие рассуждения для каждого из них, придем к выводу:
Если натуральные числа a, b, c имеют общие простые делители и удовлетворяют равенство (1), то существуют взаимно простые числа
a_n, b_n, c_n, что удовлетворят уравнение (a_n)^x + (b_n)^y = (c_n)^z, при тех же x, y, z.
Предположим теперь, что числа a, b, c взаимно простые и удовлетворяют равенство (1).
Пусть q_1, q_2, \ldots, q_n - разные простые числа.
Умножив равенство (1) на (q_1, q_2, \ldots, q_n)^{xyz} получаем следующее
(q_1, q_2, \ldots, q_n)^{xyz}a^x + (q_1, q_2, \ldots, q_n)^{xyz}b^y = (q_1, q_2, \ldots, q_n)^{xyz}c^z, или
(q_1^{yz}, q_2^{yz}, \ldots, q_n^{yz}a)^x + (q_1^{xz}, q_2^{xz}, \ldots, q_n^{xz}b)^y = (q_1^{xy}, q_2^{xy}, \ldots, q_n^{xy}c)^z
Таким образом три натуральные числа q_1^{yz}, q_2^{yz}, \ldots, q_n^{yz}a, q_1^{xz}, q_2^{xz}, \ldots, q_n^{xz}b
и q_1^{xy}, q_2^{xy}, \ldots, q_n^{xy}c, имеющие n простых общих делителей (в частном случае n = 1,
также удовлетворяют (1) при тех же значениях x, y, z.
Гипотеза опровергнута.

ps. Креатив не мой, писался с рукописи, так что возможны ошибки в формулах.
Автор попросил выложить.
Спасибо.

[mihaild]

$7^3 + 7^4 = 14^3$, и $7, 7, 14$ имеют общий делитель. А вы "доказали", что общего делителя быть не может. Ищите ошибку.

Плюс ваше рассуждение не является опровержением гипотезы Била даже чисто формально. Гипотеза Била состоит в том, что общий делитель есть всегда, а вы доказываете, что его нет никогда. Чтобы из этого доказательства получить опровержение гипотезы Била, нужно еще доказать, что вообще есть хотя бы одно решение.

[Null]

artez в сообщении #1428726 писал(а):

$(a_1)^x + (b_1)^y = q_1^{s_3z - s_1x}(c_1)^z $(6)
$s_3z - s_1x \neq 0$ Правая часть (6) делиться на $q_1$, а левая - нет. Противоречие.

Вот это вот неправда.