Сумма остатков ряда Лейбница

[Alexander Evnin]

Пусть $a_n=1-\frac12+\frac13-\dots+\frac{(-1)^{n-1}}n-\ln2$.

Докажите, что ряд $\sum_{n=1}^\infty a_n$ сходится и найдите его сумму.

Источник задачи: Seventh HKUST Undergraduate Math Competition – Senior Level
April 27, 2019

Сходимость здесь очевидна. А вот как найти сумму?

[Farest2]

Вот как-то сходимость ряда для меня была не очевидна (пока асимптотику не нашел), зато вычисление суммы ряда совершенно рутинно.

Во-первых, работаем только с частичными суммами

$$S_N=\sum\limits_{n=1}^N \Bigl\{\sum\limits_{k=1}^n \frac{(-1)^{k-1}}{k}-\ln 2\Bigr\}$$

(чтобы фигурную скобку раскрыть и суммы переставить местами), а к пределу $N\to\infty$ переходим только на самом последнем шаге.

Во-вторых, сумму по $k$ записываем через гармонические числа.

Ну, дальше уже кому что нравится -- асимптотика $H_n$, или $\psi$-функция, или просто обвертывающие ряды Эйлера-Маклорена. Можно вообще через интегральное определение бета-функции разобраться с асимптотикой. Забавно, что ответ получается положительный (как-то априорно это не видно).

[nnosipov]

Farest2 в сообщении #1428285 писал(а):

Ну, дальше уже кому что нравится -- асимптотика $H_n$, или $\psi$-функция, или просто обвертывающие ряды Эйлера-Маклорена. Можно вообще через интегральное определение бета-функции разобраться с асимптотикой.

Ну, вообще-то там уровень undergraduate, поэтому предполагались средства попроще. А именно, использовать для $a_n$ интегральное представление, которое как-то сразу лезет в глаза. Ну и ответ тоже получается моментально: $-1/2+\ln{2}$.

[Otta]

Почему-то у меня просто $\ln 2$. :(

[nnosipov]

Otta в сообщении #1428292 писал(а):

Почему-то у меня просто $\ln 2$. :(

Увы, приближенные вычисления дают примерно $0{.}19$.

[Otta]

nnosipov в сообщении #1428289 писал(а):

$-1/2+\ln{2}$

Ага, да. Единица потерялась на листочке.
Я, по сути, занималась тем же: сделала из ряда степенной, а из логарифма - логарифм :). И дифференцированием его. Допустимость процедуры обосновывается шаблонно.
Интегрирование сразу в этом отношении приятней, конечно. Хотя по сути - то же.

-- 30.11.2019, 19:52 --

Тьфу ты. До меня дошло наконец, почему сходимость очевидна. ))
И это внезапно.

[Alexander Evnin]

nnosipov в сообщении #1428289 писал(а):

Farest2 в сообщении #1428285 писал(а):

Ну, дальше уже кому что нравится -- асимптотика $H_n$, или $\psi$-функция, или просто обвертывающие ряды Эйлера-Маклорена. Можно вообще через интегральное определение бета-функции разобраться с асимптотикой.

Ну, вообще-то там уровень undergraduate, поэтому предполагались средства попроще. А именно, использовать для $a_n$ интегральное представление, которое как-то сразу лезет в глаза. Ну и ответ тоже получается моментально: $-1/2+\ln{2}$.

Да, с интегралами красиво всё выходит!

[DeBill]

Да, красивая задачка! Т.е., получается всегда:
если $r_n(x) = f(x) - S_n(x)$, где $S_n(x) $ - $n$-я частичная сумма ряда Тейлора для $f$ с центром в нуле, то
$\sum\limits_{n=0}^{\infty} r_n(x) = xf'(x)$ !!!!
Так что много примеров можно подобных наваять....

[nnosipov]

DeBill в сообщении #1428322 писал(а):

если $a_n(x) = f(x) - S_n(x)$, где $S_n(x) $ - $n$-я частичная сумма ряда Тейлора для $f$ с центром в нуле, то
$\sum\limits_{n=0}^{\infty} a_n(x) = xf'(x)$ !!!!

О как. Оказывается, тут серийное производство, а не штучный товар.

Наверное, надо было еще один ряд Лейбница рассмотреть, чтоб догадаться до такого обобщения.

[DeBill]

(Оффтоп)

Конечно, нужна аналитичность функции $f$ на отрезке $[0,x]$ (или хотя бы - на полуинтервале плюс непрерывность $f$ и $f'$ на отрезке - теорема Абеля сработает)