Устойчивость крутящегося шара

[pogulyat_vyshel]

К поверхности однородного шара массы $M$ радиуса $r$ припаяна точечная масса $m$. Шар ставят на горизонтальную совершенно шероховатую плоскость так, что масса $m$ оказывается на максимальной высоте. Потом шар закручивают вокруг вертикальной оси до угловой скорости $\omega$. При каких значениях $\omega$ такое верчение шара вокруг вертикальной оси устойчиво в линейном приближении?

[pogulyat_vyshel]

Ну вот. По крайней мре теперь ни у кого нет претензий к постановке задачи

[drobyshev]

Что-то мне подсказывает, что если обозначить 2/5 в выражении $I=(2/5)Mr^2$ буквой $\beta$, а $m/(m+M)$ буквой $\alpha$, то

$\displaystyle\omega>\frac{2\Omega}{\alpha(1-\beta)+\beta}\sqrt{\alpha(2-\beta)+\beta}$,

где $\Omega=\sqrt{g/r}$. Но не факт, где-то мог ошибиться.

[pogulyat_vyshel]

$$\omega^2>\frac{20mg(7M+20m)}{r(7M+10m)^2}$$

[drobyshev]

В числителе в своем выражении точно упустил $\sqrt{\alpha}$:

$\displaystyle\omega>\frac{2\Omega\sqrt{\alpha}}{\alpha(1-\beta)+\beta}\sqrt{\alpha(2-\beta)+\beta}$.

В результате оно преобразуется к такому:

$\displaystyle \omega^2>\frac{20mg(2M+10m)}{r(2M+5m)^2}$.

С Вашим не совпадает. Буду разбираться.

[drobyshev]

Ошибся в расчете момента силы реакции плоскости. Окончательный ответ

$\displaystyle \omega > \frac{2\Omega\sqrt{\alpha}}{\beta(1-\alpha)+1+\alpha}\sqrt{\beta(1-\alpha)+1+3\alpha} $

при $\beta=2/5$, $\alpha=m/(m+M)$ и $\Omega=\sqrt{g/r}$ совпадает с приведенным выше ответом pogulyat_vyshel:

$\displaystyle\omega^2>\frac{20mg(7M+20m)}{r(7M+10m)^2}$.

Для другого сферически симметричного распределения массы $M$ следует взять свой соответствующий ему безразмерный момент инерции $\beta$.

[pogulyat_vyshel]

https://youtu.be/V7hGcLU_wlY

[AnatolyBa]

А почему тогда ответ не совпадает с тем, что приведен в книге, которую вы рекомендуете?
Я пытался решить, но не справился. Пошел читать учебник, но там ответ, вроде, другой.

[pogulyat_vyshel]

о какой книге речь?

[AnatolyBa]

Болотин, Карапетян, Кугушев, Трещев

[pogulyat_vyshel]

В этой книге устойчивость исследуется честно: устойчивость решения по Ляпунову в нелинейной системе, и для этого используются нетривиальные факты из динамики и из ОДУ, а я предложил то, что не требует ни каких специальных знаний окромя стандартных курсов:

pogulyat_vyshel в сообщении #1427362 писал(а):

устойчиво в линейном приближении

-- 30.11.2019, 19:49 --

Поэтому мое неравенство должно быть слабее чем у Карапетяна.

[AnatolyBa]

Ну что-ж, судя по всему не у одного меня задача вызвала затруднения.
Подсказки не будет?
Я старался делать все честно, уравнения для импульса, для момента, кинематика.
Реакция опоры и скорость выражаются через угловую скорость $\vec{\omega}$ и вектор от центра шара до $m$ - назовем его $\vec{R}$
Далее - линеаризация, оставляю только величины первого порадка по $\Delta\vec{\omega}, $ $\Delta\vec{R}$.
Смотрю при каких параметрах существуют экспоненциально возрастающие решения.
И не получается.

[pogulyat_vyshel]

В итоге у вас должна получиться система из шести дифуров на компоненты вектора угловой скорости и вектора единичной нормали к плоскости -- компоненты всех векторов в главных центральных осях инерции связанных с телом. Реакция опоры выражается из теоремы о движении центра масс и подставляется в теорему об изменении кинетического момента. Ускорение центра масс выражается через угловую скорость и ее производную путем дифференцирования по времени условия непроскальзывания.

[AnatolyBa]

Спасибо, буду искать ошибку

[pogulyat_vyshel]

еще посмотрите Ламб "Теор механика" том 3