Коэффициенты Эйнштейна в строго монохроматической волне

[palz]

Рассмотрим двухуровневую квантовую систему в волновом пакете с центральной частотой $\omega$, ширина спектра которого $\delta$$\omega$, интенсивность I. Обозначим спектральную плотность $U_\omega$, размерность - $[U_\omega]=\text{Дж}/(\text{м}^3\text{Гц})$. Тогда объемная плотность энергии будет $U_\omega\delta\omega=I/c$, где c - скорость света в вакууме. Вероятность в единицу времени вынужденного перехода с поглощением равна $P_{12}=B_{12} U_\omega$. Учитывая, что $U_\omega=I/(c\delta\omega)$ для вероятности имеем $P_{12}=B_{12} I/(c\delta\omega)$. Рассмотрим строго монохроматическое излучение, тогда нужно будет уменьшить ширину спектрального интервала $\delta\omega$ до 0. Но тогда вероятность перехода $P_{12}$ (а значит и коэффициент поглощения) устремится к бесконечности! Пришли к парадоксальному выводу.

[madschumacher]

palz в сообщении #1428014 писал(а):

Вероятность в единицу времени вынужденного перехода с поглощением равна $P_{12}=B_{12} U_\omega$.

А размерность коэффициента $B_{12}$ чему равна?

palz в сообщении #1428014 писал(а):

Пришли к парадоксальному выводу.

С одной стороны, "бесконечные вероятности" -- это не плохо (см. золотое правило Ферми), но не очень понятно, на каком языке Вам объяснить, почему они на самом деле не бесконечные.
А с другой стороны у Вас может быть ошибка с размерностями, если Вы пользуетесь формулами, где этих бесконечных вероятностей нет.

[palz]

Размерность $[B_{12}]=\frac{[P_{12}]}{[U_\omega]}=\frac{\text{Гц}}{\frac{\text{Дж}}{\text{м}^3 \text{Гц}}}=\frac{\text{Гц}^2 \text{м}^3}{\text{Дж}}=\frac{\text{м}^3}{\text{Дж}\text{ }\text{c}^2}$.

Цитата:

С одной стороны, "бесконечные вероятности" -- это не плохо (см. золотое правило Ферми), но не очень понятно, на каком языке Вам объяснить, почему они на самом деле не бесконечные.

На любом в рамках вузовского курса.

[madschumacher]

palz в сообщении #1428114 писал(а):

На любом в рамках вузовского курса.

Самое простое объяснение (в стиле Блохинцева).
$P_{12}(\omega) \propto \delta(\omega - \omega_{12})$ для монохроматической волны показывает не абсолютную вероятность перехода, а плотность вероятности перехода. Когда происходит правильное усреднение со спектральной плотностью, эта дельта-функция просто "вырезает" нужное значение этой плотности (которое, очевидно, не бесконечно), поэтому в итоговой полной вероятности перехода нет никаких бесконечностей.
У Вас же, судя по всему, происходит смешение интегральных и дифференциальных понятий, поэтому $\delta \omega$ ни с чем не сокращается.
Надеюсь, что Вы понимаете, что без источника всех формул найти конкретное место ошибки (или её отсутствия) достаточно сложно.

Но я бы предположил, что раз в формуле происходит домножение на спектральную плотность, то вместо формулы здесь

palz в сообщении #1428014 писал(а):

Вероятность в единицу времени вынужденного перехода с поглощением равна $P_{12}=B_{12} U_\omega$.

должно стоять что-то типа $P_{12}(\omega) d\omega=B_{12}(\omega) U_\omega d\omega$, где $P_{12}(\omega) d\omega$ будет вероятностью перехода за единицу времени под влиянием излучения с частотой $\omega \div \omega + d\omega$.

[palz]

Цитата:

должно стоять что-то типа $P_{12}(\omega) d\omega=B_{12}(\omega) U_\omega d\omega$, где $P_{12}(\omega) d\omega$ будет вероятностью перехода за единицу времени под влиянием излучения с частотой $\omega \operatorname{div} \omega + d\omega$.

C Вашим определением парадокс снимается, но оно не соответствует тому, которое дается в литературе.
1. Учебник Сивухина (Оптика), МФТИ. 2002. С. 749.
"Увеличение числа фотонов в единице объема при прохождении волной расстояния $dx=vdt$ представится выражением
$dN_{\text{фот}}=(B_{21}N_2-B_{12}N_1)U_\omega\frac{dx}{v}$ "
Здесь у него $N_1$ и $N_2$ - числа атомов в единице объема на соответствующих уровнях. Значит именно $BU_\omega$ имеет размерность $\text{с}^{-1}$ и смысл вероятности в единицу времени.
2. Карлов Н.В. Лекции по квантовой электронике. М. Наука. 1988. С. 11-19.
С. 13. "В-третьих, вероятность индуцированных переходов в единицу времени пропорциональна плотности энергии внешнего поля в единичном спектральном интервале (спектральной объемной плотности энергии) $\rho_\nu$ [$\text{Дж}/(\text{см}^3 \text{Гц})$]:
$W_{12}^\text{инд}=B_{12}\rho_\nu$
$W_{21}^\text{инд}=B_{21}\rho_\nu$"
И еще далее на С. 19. "Поэтому наименьшая возможная, так называемая естественная ширина линии $\Delta\nu_0$ определяется вероятностью спонтанного перехода $A_{21}$:
$\Delta\nu_0=A_{21}/2\pi$ ".
Отсюда также можно видеть что $A_{21}$ имеет размерность $\text{с}^{-1}$, а значит такую размерность должно иметь и $BU_\omega$.
При Вашем же определении величина $BU_\omega$ безразмерная.

[madschumacher]

palz в сообщении #1428182 писал(а):

При Вашем же определении величина $BU_\omega$ безразмерная.

Ок, тогда вот Вам второе объяснение. Собственно, если у Вас всё правильно с размерностями и величинами, в этом случае у Вас по золотому правилу Ферми вероятность перехода под действием излучения даётся формулой $P_{12} (\omega') \propto \delta (\omega' - \omega)$, и в этом случае при взаимодействии с монохроматической волной у Вас получается бесконечная вероятность переходов.

Но тут уже надо обратиться к тому, откуда растут ноги у этого правила. В данном случае речь идёт об однофотонных процессах, и они возникают как поправки первого порядка для взаимодействия с монохроматической волной в пределе бесконечного времени взаимодействия, что в случае такого резонанса -- это профанация, поэтому такие формулы работают только для "размазанных" случаев, т.к. настоящая монохроматическая волна с бесконечной спектральной плотностью существует только если у Вас есть бесконечная длительность взаимодействия этой волны на систему, в случае любого конечного взаимодействия вероятности конечны.

Для системы же, которая бесконечно "купается" в резонансной монохроматической волне использование теории возмущений -- это плохая идея. Честное же решение для двухуровневой системы с монохроматической волной (в приближении быстроосциллирующей функции) даёт осцилляции Раби, где вновь нет никаких бесконечностей.

[palz]

1. Т.е. мы возвращаемся к тому, что вероятность в одну секунду есть $BU_\omega$, $[BU_\omega]=\text{c}^{-1}$?
2. Идеально монохроматическая волна обязана быть бесконечной - а значит реально $\delta\omega$ всегда конечно.
Кстати из соотношения неопределенностей следует, что при взаимодействии двухуровневой системы с волновым цугом конечной длительности возможно вынужденное поглощение или испускание не только не резонансной частоте, а и в спектральном интервале $\delta\omega$?
3. Дельта-функция может быть представлена как предел
$\delta(\omega-\omega_0)=\lim\limits_{\alpha\to0}{\frac{1}{\pi}\frac{\alpha}{\alpha^2+(\omega-\omega0)^2}}$. У меня же просто $\delta\omega\sim\omega-\omega0$ в знаменателе или это не важно?

[madschumacher]

palz в сообщении #1428193 писал(а):

1. Т.е. мы возвращаемся к тому, что вероятность в одну секунду есть $BU_\omega$, $[BU_\omega]=\text{c}^{-1}$?

Если совсем на чистоту, то я надеялся, что в тему придёт кто-то, кому не лень проверять эти все размерности.
Мне лень, Ваш дотошный стиль выглядит хорошо, так что лично я поверю Вам на слово.

palz в сообщении #1428193 писал(а):

2. Идеально монохроматическая волна обязана быть бесконечной - а значит реально $\delta\omega$ всегда конечно.

Да, это так.

palz в сообщении #1428193 писал(а):

Кстати из соотношения неопределенностей следует, что при взаимодействии двухуровневой системы с волновым цугом конечной длительности возможно вынужденное поглощение или испускание не только не резонансной частоте, а и в спектральном интервале $\delta\omega$?

По-сути, да. Вы цитату про ширину линий уже приводили. Собственно, это можно рассматривать и в контексте вероятностей перехода: чем дольше живёт состояние, тем меньше разброс по частотам испускания, и наоборот.

palz в сообщении #1428193 писал(а):

3. Дельта-функция может быть представлена как предел

У дельта-функции туча разных представлений, и бесконечно узкая лоренциана (что Вы привели), и бесконечно узкая гауссиана, и бесконечно тонкий $\mathrm{sinc}$, и простейшее из них это
$ \delta(x) \approx \lim_{\delta x \rightarrow 0} \begin{cases} \frac{1}{\delta x} & , \ -\delta x/2 < x < +\delta x/2 \\ 0 & \text{иначе} \end{cases} \ . $