2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Коэффициенты Эйнштейна в строго монохроматической волне
Сообщение28.11.2019, 12:22 


20/08/19
17
Рассмотрим двухуровневую квантовую систему в волновом пакете с центральной частотой $\omega$, ширина спектра которого $\delta$$\omega$, интенсивность I. Обозначим спектральную плотность $U_\omega$, размерность - $[U_\omega]=\text{Дж}/(\text{м}^3\text{Гц})$. Тогда объемная плотность энергии будет $U_\omega\delta\omega=I/c$, где c - скорость света в вакууме. Вероятность в единицу времени вынужденного перехода с поглощением равна $P_{12}=B_{12} U_\omega$. Учитывая, что $U_\omega=I/(c\delta\omega)$ для вероятности имеем $P_{12}=B_{12} I/(c\delta\omega)$. Рассмотрим строго монохроматическое излучение, тогда нужно будет уменьшить ширину спектрального интервала $\delta\omega$ до 0. Но тогда вероятность перехода $P_{12}$ (а значит и коэффициент поглощения) устремится к бесконечности! Пришли к парадоксальному выводу.

 Профиль  
                  
 
 Re: Коэффициенты Эйнштейна в строго монохроматической волне
Сообщение28.11.2019, 18:45 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/04/16
2388
Внутри ускорителя
palz в сообщении #1428014 писал(а):
Вероятность в единицу времени вынужденного перехода с поглощением равна $P_{12}=B_{12} U_\omega$.

А размерность коэффициента $B_{12}$ чему равна?
palz в сообщении #1428014 писал(а):
Пришли к парадоксальному выводу.

С одной стороны, "бесконечные вероятности" -- это не плохо (см. золотое правило Ферми), но не очень понятно, на каком языке Вам объяснить, почему они на самом деле не бесконечные. :lol:
А с другой стороны у Вас может быть ошибка с размерностями, если Вы пользуетесь формулами, где этих бесконечных вероятностей нет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Коэффициенты Эйнштейна в строго монохроматической волне
Сообщение29.11.2019, 08:46 


20/08/19
17
Размерность $[B_{12}]=\frac{[P_{12}]}{[U_\omega]}=\frac{\text{Гц}}{\frac{\text{Дж}}{\text{м}^3 \text{Гц}}}=\frac{\text{Гц}^2 \text{м}^3}{\text{Дж}}=\frac{\text{м}^3}{\text{Дж}\text{ }\text{c}^2}$.
Цитата:
С одной стороны, "бесконечные вероятности" -- это не плохо (см. золотое правило Ферми), но не очень понятно, на каком языке Вам объяснить, почему они на самом деле не бесконечные. :lol:

На любом в рамках вузовского курса.

 Профиль  
                  
 
 Re: Коэффициенты Эйнштейна в строго монохроматической волне
Сообщение29.11.2019, 09:23 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/04/16
2388
Внутри ускорителя
palz в сообщении #1428114 писал(а):
На любом в рамках вузовского курса.

Самое простое объяснение (в стиле Блохинцева).
$P_{12}(\omega) \propto \delta(\omega - \omega_{12})$ для монохроматической волны показывает не абсолютную вероятность перехода, а плотность вероятности перехода. Когда происходит правильное усреднение со спектральной плотностью, эта дельта-функция просто "вырезает" нужное значение этой плотности (которое, очевидно, не бесконечно), поэтому в итоговой полной вероятности перехода нет никаких бесконечностей.
У Вас же, судя по всему, происходит смешение интегральных и дифференциальных понятий, поэтому $\delta \omega$ ни с чем не сокращается.
Надеюсь, что Вы понимаете, что без источника всех формул найти конкретное место ошибки (или её отсутствия) достаточно сложно.

Но я бы предположил, что раз в формуле происходит домножение на спектральную плотность, то вместо формулы здесь
palz в сообщении #1428014 писал(а):
Вероятность в единицу времени вынужденного перехода с поглощением равна $P_{12}=B_{12} U_\omega$.

должно стоять что-то типа $P_{12}(\omega) d\omega=B_{12}(\omega) U_\omega d\omega$, где $P_{12}(\omega) d\omega$ будет вероятностью перехода за единицу времени под влиянием излучения с частотой $\omega \div  \omega + d\omega$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Коэффициенты Эйнштейна в строго монохроматической волне
Сообщение29.11.2019, 18:51 


20/08/19
17
Цитата:
должно стоять что-то типа $P_{12}(\omega) d\omega=B_{12}(\omega) U_\omega d\omega$, где $P_{12}(\omega) d\omega$ будет вероятностью перехода за единицу времени под влиянием излучения с частотой $\omega \operatorname{div}  \omega + d\omega$.

C Вашим определением парадокс снимается, но оно не соответствует тому, которое дается в литературе.
1. Учебник Сивухина (Оптика), МФТИ. 2002. С. 749.
"Увеличение числа фотонов в единице объема при прохождении волной расстояния $dx=vdt$ представится выражением
$dN_{\text{фот}}=(B_{21}N_2-B_{12}N_1)U_\omega\frac{dx}{v}$ "
Здесь у него $N_1$ и $N_2$ - числа атомов в единице объема на соответствующих уровнях. Значит именно $BU_\omega$ имеет размерность $\text{с}^{-1}$ и смысл вероятности в единицу времени.
2. Карлов Н.В. Лекции по квантовой электронике. М. Наука. 1988. С. 11-19.
С. 13. "В-третьих, вероятность индуцированных переходов в единицу времени пропорциональна плотности энергии внешнего поля в единичном спектральном интервале (спектральной объемной плотности энергии) $\rho_\nu$ [$\text{Дж}/(\text{см}^3 \text{Гц})$]:
$W_{12}^\text{инд}=B_{12}\rho_\nu$
$W_{21}^\text{инд}=B_{21}\rho_\nu$"
И еще далее на С. 19. "Поэтому наименьшая возможная, так называемая естественная ширина линии $\Delta\nu_0$ определяется вероятностью спонтанного перехода $A_{21}$:
$\Delta\nu_0=A_{21}/2\pi$ ".
Отсюда также можно видеть что $A_{21}$ имеет размерность $\text{с}^{-1}$, а значит такую размерность должно иметь и $BU_\omega$.
При Вашем же определении величина $BU_\omega$ безразмерная.

 Профиль  
                  
 
 Re: Коэффициенты Эйнштейна в строго монохроматической волне
Сообщение29.11.2019, 19:35 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/04/16
2388
Внутри ускорителя
palz в сообщении #1428182 писал(а):
При Вашем же определении величина $BU_\omega$ безразмерная.

Ок, тогда вот Вам второе объяснение. Собственно, если у Вас всё правильно с размерностями и величинами, в этом случае у Вас по золотому правилу Ферми вероятность перехода под действием излучения даётся формулой $P_{12} (\omega') \propto \delta (\omega' - \omega)$, и в этом случае при взаимодействии с монохроматической волной у Вас получается бесконечная вероятность переходов.

Но тут уже надо обратиться к тому, откуда растут ноги у этого правила. В данном случае речь идёт об однофотонных процессах, и они возникают как поправки первого порядка для взаимодействия с монохроматической волной в пределе бесконечного времени взаимодействия, что в случае такого резонанса -- это профанация, поэтому такие формулы работают только для "размазанных" случаев, т.к. настоящая монохроматическая волна с бесконечной спектральной плотностью существует только если у Вас есть бесконечная длительность взаимодействия этой волны на систему, в случае любого конечного взаимодействия вероятности конечны.

Для системы же, которая бесконечно "купается" в резонансной монохроматической волне использование теории возмущений -- это плохая идея. Честное же решение для двухуровневой системы с монохроматической волной (в приближении быстроосциллирующей функции) даёт осцилляции Раби, где вновь нет никаких бесконечностей.

 Профиль  
                  
 
 Re: Коэффициенты Эйнштейна в строго монохроматической волне
Сообщение29.11.2019, 20:21 


20/08/19
17
1. Т.е. мы возвращаемся к тому, что вероятность в одну секунду есть $BU_\omega$, $[BU_\omega]=\text{c}^{-1}$?
2. Идеально монохроматическая волна обязана быть бесконечной - а значит реально $\delta\omega$ всегда конечно.
Кстати из соотношения неопределенностей следует, что при взаимодействии двухуровневой системы с волновым цугом конечной длительности возможно вынужденное поглощение или испускание не только не резонансной частоте, а и в спектральном интервале $\delta\omega$?
3. Дельта-функция может быть представлена как предел
$\delta(\omega-\omega_0)=\lim\limits_{\alpha\to0}{\frac{1}{\pi}\frac{\alpha}{\alpha^2+(\omega-\omega0)^2}}$. У меня же просто $\delta\omega\sim\omega-\omega0$ в знаменателе или это не важно?

 Профиль  
                  
 
 Re: Коэффициенты Эйнштейна в строго монохроматической волне
Сообщение29.11.2019, 23:50 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/04/16
2388
Внутри ускорителя
palz в сообщении #1428193 писал(а):
1. Т.е. мы возвращаемся к тому, что вероятность в одну секунду есть $BU_\omega$, $[BU_\omega]=\text{c}^{-1}$?

Если совсем на чистоту, то я надеялся, что в тему придёт кто-то, кому не лень проверять эти все размерности.
Мне лень, Ваш дотошный стиль выглядит хорошо, так что лично я поверю Вам на слово. :D
palz в сообщении #1428193 писал(а):
2. Идеально монохроматическая волна обязана быть бесконечной - а значит реально $\delta\omega$ всегда конечно.

Да, это так.
palz в сообщении #1428193 писал(а):
Кстати из соотношения неопределенностей следует, что при взаимодействии двухуровневой системы с волновым цугом конечной длительности возможно вынужденное поглощение или испускание не только не резонансной частоте, а и в спектральном интервале $\delta\omega$?

По-сути, да. Вы цитату про ширину линий уже приводили. Собственно, это можно рассматривать и в контексте вероятностей перехода: чем дольше живёт состояние, тем меньше разброс по частотам испускания, и наоборот.
palz в сообщении #1428193 писал(а):
3. Дельта-функция может быть представлена как предел

У дельта-функции туча разных представлений, и бесконечно узкая лоренциана (что Вы привели), и бесконечно узкая гауссиана, и бесконечно тонкий $\mathrm{sinc}$, и простейшее из них это
$
\delta(x) \approx \lim_{\delta x \rightarrow 0} \begin{cases}
 \frac{1}{\delta x} & , \ -\delta x/2 < x < +\delta x/2 \\
 0 & \text{иначе}
\end{cases} \ .
$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group