Прибавление второго по величине простого делителя

[Ktina]

Возьмём натуральное число, у которого как минимум два различных простых делителя. Прибавим ко взятому нами числу его второй по величине простой делитель (например, у числа 18 таким делителем будет число 2). С полученным в результате числом проделаем то же самое, и так далее, пока не получим число, имеющее только один простой делитель (т.е. степень простого числа с натуральным показателем).

Например, из числа 15 получаем 15-18-20-22-24-26-28-30-33-36-38-40-42-45-48-50-52-54-56-58-60-63-66-69-72-74-76-78-81.

Внимание, вопрос! Существует ли такое натуральное число, начав с которого мы никогда не остановимся?

[daniel starodubtsev]

В первых 14-ти тысячах чисел ничего интересного не происходило - все останавливались, не преодолевая барьер $14641=11^4$. Дальше начались интересности. $14342$ остановилось только на $13845841=61^4$. $14353$ дошло до туда же. И дальше все больше и больше...

[Dmitriy40]

daniel starodubtsev
Скажите, а Вы нашли следующий рекорд?
У меня за 9ч следующее число 13779167 ушло за $9\cdot10^{12}$ и останавливаться не собирается ...

[daniel starodubtsev]

Dmitriy40
Нет, не нашёл, я и программку-то запустил на несколько минут, чтобы посмотреть, что там вообще происходит.
Не понимаю, чем им "не нравятся" степени простых чисел с основанием между 11 и 61...

P.S. Я как-то не обратил внимания, а сейчас вот подумал: остановка всегда происходит на четвёртой степени простого, или мне показалось?

[Dmitriy40]

daniel starodubtsev в сообщении #1427428 писал(а):

P.S. Я как-то не обратил внимания, а сейчас вот подумал: остановка всегда происходит на четвёртой степени простого, или мне показалось?

Показалось:
$77:729=3^6$
$697:3125=5^5$

Число $13779167$ уже ушло за $50\cdot10^{12}$.

daniel starodubtsev в сообщении #1427428 писал(а):

Не понимаю, чем им "не нравятся" степени простых чисел с основанием между 11 и 61...

Да тут дело не в нравятся или не нравятся, на другом сайте правильно указали:

Цитата:

Какие-либо очевидные причины для попадания в "ямы" вида p^k не просматриваются, хотя во всех примерах это вроде бы обстоит именно так. Но трудно поверить в то, что процесс может бесконечно много раз их все обходить. На первый взгляд, задача выглядит достаточно трудной.

PS. To All. Если кто ещё заинтересуется задачей, поясню за ТС условие, вечно он их криво формулирует: добавлять надо не второй простой делитель, а предпоследний по величине простой делитель. При условии что простых делителей больше одного, т.е. число не является степенью простого. Например $755330400$ имеет разложение $2^5\cdot3^3\cdot5^2\cdot11^2\cdot17^2$, добавлять надо $11$.

(Отношение ТС к своим задачам)

Что характерно, на другом сайте TC уже через 15 минут поправился когда ему указали на ошибку в формулировке, ещё 21 сентября, здесь же поправить условие и не почесался (тогда бана ещё не было), видимо ждал и тут пинка ...

[Dmitriy40]

Число 13779167 дошло до 100000000028371 и не остановилось. Дальше считать не стал, надоело.

[Yadryara]

Давайте уже оставим ТС-а в покое, ибо непродуктивно. А вот вам самим вашу довольно грубую ошибку неплохо бы и поправить.

Dmitriy40 в сообщении #1427467 писал(а):

Например $755330400$ имеет разложение $2^5+3^3+5^2+11^2+17^2$,

Плюсы здесь, мягко говоря, не в кассу. Всё же $755330400= 2^5\cdot3^3\cdot5^2\cdot11^2\cdot17^2$

-- 27.11.2019, 10:38 --

Dmitriy40 в сообщении #1427467 писал(а):

добавлять надо не второй простой делитель, а предпоследний по величине простой делитель.

Кстати, и в названии темы и в стартовом посте сказано не просто о втором, а именно о втором по величине. Что тут исправлять? Это не менее информативно, чем предпоследний по величине.

[Dmitriy40]

Yadryara
Действительно, с плюсами я того, лопухнулся, спасибо. Поправлю в своём сообщении.
Насчёт второго, обычно счёт идёт с 1 в большую сторону, а в данной задаче "второй по величине" подразумевается в обратную сторону, первый наибольший, а прибавлять надо самый большой, но меньше наибольшего. И именно это стоило бы пояснить сразу.

[Yadryara]

ОК, люблю самокритичных людей.

Насчёт "второго по величине" долго вести терминологический спор не буду, но пару примеров приведу.

Я в своём классе был вторым по росту. Сколько однокашников были выше меня? Правильно, один. Традиционно понимают именно так, а вовсе не так, что я был низеньким и только один был ниже меня.

Сколько в мире вершин выше, чем К2? Правильно, одна — Эверест. Когда говорят, что К2 вторая вершина мира, то даже и не всегда добавляют, что по высоте — и так понятно.

Вообще же, формулировки можно уточнять снова и вновь, вновь и снова...

[Dmitriy40]

Я тут чего подумал. Вероятность наткнуться на число $p^{k>1}$ ($p$ простое) на порядки ниже вероятности наткнуться на $p^1$, первая растёт примерно как $1{,}5\pi(\sqrt{x})$ (прикинул до $10^{20}$), вторая как $\pi(x)$. Т.е. с увеличением чисел можно забыть про степени простых и учитывать только сами простые. А их частота встречаемости с ростом чисел падает. Т.е. падает и полная вероятность остановки (натыкания на $p^k$). Так что утверждение выше (не моё) о невозможности бесконечно избегать чисел $p^k$ как минимум не очевидно.

Правда есть и другой эффект, роста величины каждого шага, ведь с ростом чисел растут и делители, но как это оценить я не знаю, оценка $\sqrt{x}$ слишком грубая и что хуже всего по порядку величины совпадает с оценкой первой вероятности. Конечно там должен быть небольшой множитель, ведь не все числа имеют наибольший простой делитель порядка $\sqrt{x}$, но как это оценить опять же не знаю.