Показать что из аксиомы замены следует аксиома выделения

[Sdy]

Столкнулся с ещё одним упражнением в Terence Tao, Analysis 1, которое вызывает вопросы.
Упражнение. Докажите, что из аксиомы замены следует аксиома выделения.
Для начала приведу формулировки обеих аксиом, как они даны в книге:
Аксиома выделения.
Let $A$ be a set, and for each $x \in A$, let $P(x)$ be a property pertaining to $x$ (i.e., $P(x)$ is either a true statement or a false statement). Then there exists a set, called $\{x \in A : P(x)=true\}$ (or simply $\{x \in A : P(x)\}$ for short), whose elements are precisely the elements $x$ in $A$ for which $P(x)$ is true. In other words, for any object $y$, $y \in \{x \in A : P(x)=true\} \Leftrightarrow (y \in A \wedge P(y)=true)$.
Аксиома замены.
Let $A$ be a set. For any object $x \in A$, and any object $y$, suppose we have a statement $P(x, y)$ pertaining to $x$ and $y$, such that for each $x \in A$ there is at most one $y$ for which $P(x, y)$ is true. Then there exists a set $\{y : P(x, y)$ is true for some $x \in A\}$, such that for any object $z$, $z \in \{y : P(x, y)$ is true for some $x \in A\} \Leftrightarrow P(x, z)$ is true for some $x \in A$.
Доказательство.
Возьмём произвольное множество $A$.
Пусть у нас есть некое утверждение $Q(x)$.
Выберем такое утверждение: $P(x,y) = ((y=x) \wedge (x \in A) \wedge (Q(x)$ is true)).
Докажем, что каждому $x$ поставится тогда в соответствие не более одного $y$ - от противного, пусть поставится два - $y_1$, $y_2$ , но так как $x=y_1 \wedge x = y_2 \Rightarrow y_1=y_2$
Тогда по аксиоме замены мы образуем множество $\{y : P(x,y)$ is true for some $x \in A \}$.
Но по нашему определению $P(x,y)$ мы получаем множество, элементами которого являются как раз те $x \in A$, для которых верно $Q(x)$, значит мы теперь умеем выделять из множеств подмножества по характеристическому свойству и аксиома выделения верна.$\triangle$

Хотелось бы узнать, в тех терминах, в которых говорит Terence Tao, верно ли моё доказательство?
Просто судя по тому что я нашел на mathexchange, обычно говорят о более строгих формулировках этих аксиом, с привлечением того, что такое формула, а мне бы для начала хотелось понять, корректен ли я с точки зрения данной книги.

[arseniiv]

Да, по-моему всё прекрасно.

-- Вс ноя 24, 2019 17:41:49 --

Хотя в конце вы конечно могли бы расписать чуть подробнее, что получается в точности такое множество, какое гарантирует аксиома выделения, но по-моему сойдёт. Вы это видите, я это вижу, и много кто тоже не будет против.

[Sdy]

arseniiv, спасибо за проверку.

arseniiv в сообщении #1427464 писал(а):

что получается в точности такое множество, какое гарантирует аксиома выделения

То есть нужно доказать, что $\{y : P(x,y)$ is true for some $x \in A\} = \{x \in A : Q(x)$ is true$\}$?
Тогда берём элемент из левой части, вследствие того, как мы определили $P(x,y)$, это будет элемент из $A$, для которого верно $Q(x)$, а значит он лежит в правой части.
Теперь берём элемент из правой части, а любой такой элемент удовлетворяет нашему $P(x,y)$ и поэтому попадает в левую часть.
Значит мы доказали как левое, так и правое включение, а следовательно множества совпадают.

[arseniiv]

Угу.

[Sdy]

arseniiv, спасибо.