Ассоциативность в абелевой группе

[Munin]

Someone в сообщении #1427398 писал(а):

А также ещё бесконечное множество аксиом, с которыми можно познакомиться в учебнике математической логики.

Внимание, осторожно: учебник тоже бесконечный.

[mihaild]

oleg.k в сообщении #1427306 писал(а):

Т.е. можно просто смотреть на выражение с равенством и видеть два высказывания в обе стороны?

Нет.

(Оффтоп)

Munin в сообщении #1427325 писал(а):

Да.

Хосподи, избави нас от физиков.

Возможно, вас несколько сбивает инфиксная запись равенства. Давайте вместо $a = b$ писать $\operatorname{Eq}(a, b)$.
Тогда среди имеющихся у нас аксиом есть и такая: $\forall x \forall y(\operatorname{Eq}(x, y) \rightarrow \operatorname{Eq}(y, x))$ (симметричность равенства).
В исчислении предикатов есть схема аксиом: $(\forall x: \varphi) \rightarrow \varphi[t / x]$. Подставим $\varphi = \forall y(\operatorname{Eq}(x, y) \rightarrow \operatorname{Eq}(y, x))$ и $t = a + (b + c)$, получим, что $(\forall x \forall y(\operatorname{Eq}(x, y) \rightarrow \operatorname{Eq}(y, x))) \rightarrow \forall y(\operatorname{Eq}(a + (b + c), y) \rightarrow \operatorname{Eq}(y, a + (b + c)))$ является аксиомой.
Из этой аксиомы и симметричности равенства выводится $\forall y(\operatorname{Eq}(a + (b + c), y) \rightarrow \operatorname{Eq}(y, a + (b + c)))$.
Продолжая аналогично,получим $\operatorname{Eq}(a + (b + c), (a + b) + c) \rightarrow \operatorname{Eq}((a + b) + c, a + (b + c))$ (*).
Наконец, у нас есть аксиома теории групп $\operatorname{Eq}(a + (b + c), (a + b) + c)$. Из этой аксиомы и (*) по modus ponens выводится $\operatorname{Eq}((a + b) + c, a + (b + c))$. Что нам и было нужно.

Т.е. утверждения $u = v$ и $v = u$ - это всё еще разные утверждения (если конечно $u$ и $v$ не совпадают синтаксически). Но они следуют друг из друга, для вывода их друг из друга нужны только аксиомы равенства и исчисления предикатов (независимо от того, что скрывается за $u$ и $v$). Так что если доказали, что $u = v$, то автоматически можно доказать, что $v = u$.
Во всех разделах, кроме логики (и может быть каких-то экзотических кусков алгебры) про это вообще не думают, и с равенствами обращаются "как в школе" - свободно переставляют стороны, подставляют вместо выражения равное ему, и т.д. Все эти операции можно строго обосновать (см. выше пример, как это сделать), но это долго и бессмысленно.

Munin в сообщении #1427400 писал(а):

учебник тоже бесконечный

В каком смысле? Аксиом равенства бесконечно в прямом смысле: нужно для любого терма и формулы написать, что их значение не изменится, если заменить аргумент на равный ему.

[arseniiv]

(Оффтоп)

mihaild в сообщении #1427412 писал(а):

В каком смысле?

Я так понял, это шутка. По-моему даже милая нарочитой неуклюжестью.

[mihaild]

(Оффтоп)

Это возможно, но на всякий случай имхо стоило отметить, что "бесконечное количество аксиом" не фигура речи, а точное утверждение.

[bot]

Неоднократные упоминания симметричности отношения равенства игнорируются.

(Оффтоп)

Someone в сообщении #1427398 писал(а):

oleg.k, надо не страдать фигнёй

Мне кажется, что он и не страдает - он с неё тащится.

[oleg.k]

mihaild Спасибо! Ваше сообщение очень сильно мне помогло.

[oleg.k]

mihaild в сообщении #1427304 писал(а):

Если в сигнатуре есть равенство, то подразумевается, что в аксиомы включены аксиомы равенства - в том числе $\forall x\forall y ((x=y) \rightarrow (y=x))$.

Я просто не совсем понимаю, что означают аксиомы группы.. Вот что такое аксиомы $ZF(C)$ я понимаю. Есть язык первого порядка с переменными, одной константой, двумя реляционными символами, субстантивных символов нету. Есть известные аксиомы.

Но как я должен понимать словосочетания "теория групп", "аксиомы теории групп"?

[mihaild]

ZF, PA, теория групп и т.д. - это теории первого порядка. В любой теории первого порядка есть логические аксиомы - формулы, получающиеся подстановкой формул в тавтологии исчисления высказываний, а также формул фида $(\forall x: \varphi) \rightarrow \varphi[x/t]$ и $\varphi[x / t] \rightarrow (\exists x: \varphi(x))$.
Кроме логических, в теории есть нелогические (предметные) аксиомы - в которых и заключена "интересная" часть теории. Если в сигнатуре теории есть символ равенства, то в список нелогических аксиом обычно неявно включаются аксиомы равенства. И довольно часто аксиомами теории с равенством называют её аксиомы кроме аксиом равенства (потому что они всё равно всегда одинаковые).
Т.е. теория групп - это формальная теория первого порядка в сигнатуре $(\cdot, =)$ со стандартными аксиомами ассоциативности, существования единицы и обратного (или можно брать сигнатуру $(e, \cdot, =)$ и заменить существование единицы на утверждение $e$ - единица) и аксиомами равенства.
(а еще теория групп - раздел математики, который изучает объекты, для которых выполнены эти аксиомы)

[oleg.k]

mihaild в сообщении #1427412 писал(а):

Т.е. утверждения $u = v$ и $v = u$ - это всё еще разные утверждения (если конечно $u$ и $v$ не совпадают синтаксически).

А разве можно говорить о выражениях $u = v$ "вообще"? Они же все абсолютно разные. Возьмем утверждение $\int\limits_{1}^{2} x = 1,5$. Это утверждение по сути является короткой формой записи фразы: определенный интеграл функции $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x) = x$ на отрезке $[1, 2]$ равен 1,5. Т.е. это утверждение имеет вид "значение некоторой заранее обозначенной функции (в данном случае интеграла) при конкретном значении ее аргумента (в данном случае на паре $(f(x) = x, [1, 2])$ равно некоторому объекту (в данном случае вещественному числу 1,5)". Такой же вид имеет выражение $5+3=8$. Т.е. оно утверждает, что значение функции $+:\mathbb{N}^{2} \to \mathbb{N}$ при значении аргумента $(5, 3) \in \mathbb{N}^2$ равняется натуральному числу 8. Но если взять высказывание $(a\circ b)\circ c = a\circ (b\circ c)$ (где $\circ$-групповая операция в некоторой группе $(G, \circ)$), то оно имеет принципиально другую форму, а именно оно утверждает, что для любых $a, b, c \in G$ значение функции $\circ$ при значении аргумента $((a,b),c)$ совпадает со значением этой же самой функции при значении аргумента $(a, (b,c))$. В первом случае никаких кванторов не было, а во втором случае появился квантор $\forall$.

mihaild в сообщении #1427412 писал(а):

Но они следуют друг из друга, для вывода их друг из друга нужны только аксиомы равенства и исчисления предикатов (независимо от того, что скрывается за $u$ и $v$). Так что если доказали, что $u = v$, то автоматически можно доказать, что $v = u$.

Вот это "независимо от того, что скрывается за $u$ и $v$ меня очень сильно смущает. А если $u$ и $v$ - это объекты из разных формальных теорий?

[Someone]

oleg.k в сообщении #1442286 писал(а):

А если $u$ и $v$ - это объекты из разных формальных теорий?

А так не бывает. Все объекты всегда принадлежат одной теории.

[mihaild]

oleg.k в сообщении #1442286 писал(а):

В первом случае никаких кванторов не было, а во втором случае появился квантор $\forall$.

Нет, квантор не появился, просто формула включает в себя свободные переменные.

[oleg.k]

Someone в сообщении #1442292 писал(а):

А так не бывает. Все объекты всегда принадлежат одной теории.

Но в повседневной математической деятельности невозможно же для каждого "=" держать в голове формальную теорию, из сигнатуры которой это равно взято. Более того, обычно вообще не предполагается никакая формальная теория и, как уже отмечалось, с равенствами работают "как в школе". Как в таких условиях не допустить ошибку?


Или всегда неявно предполагается формальная теория множеств ZF(C)?

-- 29.02.2020, 22:10 --

Вот допустим написал я такое равенство: $\int\limits_{1}^{2} x = 1+0.5$ Слева у меня интеграл из анализа, а справа у меня операция $+$ из аддитивной абелевой группы вещественных чисел. Из какой формальной теории здесь будут объекты $u$ и $v$?

[Someone]

oleg.k в сообщении #1442301 писал(а):

Но в повседневной математической деятельности невозможно же для каждого "=" держать в голове формальную теорию

В "повседневной математический деятельности" формальные теории, как правило, вообще не используются. Но никому не приходит в голову приравнивать друг другу объекты разной природы, например, кольцо целых чисел и линейный оператор. Однако иногда бывают сознательно или бессознательно допускаемые "нестрогости" наподобие удобного отождествления поля действительных чисел с его образом при вложении в поле комплексных чисел или в тело кватернионов. Если взять формальную теорию поля действительных чисел и на её основе построить модель поля комплексных чисел, то, разумеется, действительное число $\lambda$ не равно комплексному числу $\lambda+0i$, но так удобно считать, что равно… Тем более, что вложение $\mathbb R\to\mathbb C$ существует и единственно, изоморфные поля во многих случаях взаимозаменяемы, а формальные теории мы можем без явной необходимости и не вспоминать… Конечно, можно ввести вложение $I:\mathbb R\to\mathbb C$ и всюду в формулах писать $I(\lambda)\cdot(a+bi)$ вместо $\lambda(a+bi)$. Но кому это нужно? (Тем не менее, я в своей практике сталкивался со случаями, когда именно так и приходится делать.)

[oleg.k]

bot в сообщении #1427421 писал(а):

Неоднократные упоминания симметричности отношения равенства игнорируются.

Я не понимаю, что означает эта симметричность.

Someone в сообщении #1427398 писал(а):

2) симметричность: $a=b\Rightarrow b=a$;

Допустим, есть некоторое множество $M$. Отношением $R$ на $M$ называют произвольное подмножество $R \subset M^{2}$. Отношение называют симметричным, если $[\forall (a, b) \in R] (b, a) \in R$. Если равенство - это отношение, то на декартовом квадрате чего оно задано?

Я понимаю этот момент следующим образом. Когда говорят, что равенство - это отношение, то слово "отношение" выступает здесь не столько в смысле "отношение на некотором множестве $M$", сколько в смысле "данные два объекта $u$ и $v$ находятся в упорядоченной паре $(u, v)$". Т.е. здесь под словами "объект $A$ находится в отношении с объектом $B$" понимается, что объекты $A$ и $B$ находятся в упорядоченной паре $(A, B)$. И где тогда здесь симметричность?

Далее непонятно, чем могут являться объекты $a$ и $b$?

А если перед $a = b$ стоит десяток кванторов "для любого чего-то существует что-то такое, что для любого чего-то существует что-то ... такое, что $a = b$". Причем $a$ и $b$ - это не какие-то объекты из какой-то конкретной формальной теории, а какие нибудь оператор и объект из его кодомена. Можно ли в такой ситуации сказать, что равенство симметрично, и в этой цепочке из десяти кванторов просто заменить в конце $a = b$ на $b = a$ и надеяться на то, что полученное высказывание будет истинным? Мне это совсем неочевидно.

Someone в сообщении #1442308 писал(а):

Однако иногда бывают сознательно или бессознательно допускаемые "нестрогости" наподобие удобного отождествления поля действительных чисел с его образом при вложении в поле комплексных чисел

Такая же идея и с $\mathbb{Q}$ и $\mathbb{R}$. Строго говоря, рациональное число не равно вещественному (т.к. рациональное - есть упорядоченная пара целых, а вещественное - это, например, сечение, т.е. множество рациональных). Но в $\mathbb{R}$ можно выделить подмножество, изоморфное относительно операций и изометричное относительно метрики. Поэтому образ при таком вложении можно называть рациональными числами. И приравнивать $e^{0} = 1$. С этим все понятно.

Непонятно именно то, можно ли бездумно использовать симметричность равенства, когда перед равенством куча кванторов и объекты, связываемые равенством, имеют не самую простую природу.

[Someone]

oleg.k в сообщении #1442313 писал(а):

когда перед равенством куча кванторов и объекты, связываемые равенством, имеют не самую простую природу.

Я уже сказал, что в подобных случаях речь идёт об объектах одной и той же теории. Даже если теория не формализованная. К тому же, "содержательный" смысл равенства $a=b$ состоит в том, что "a" и "b" — имена "одного и того же" объекта. В том смысле, что эти имена взаимозаменяемы везде, где они встречаются. Формула $a=b\Rightarrow b=a$ — одна из аксиом равенства. Определение равенства включает большее количество аксиом, чем определение отношения эквивалентности.
Е. Расёва, Р. Сикорскй. Математика метаматематики. "Наука", Москва, 1972. Глава V, § 12.

oleg.k в сообщении #1442313 писал(а):

на декартовом квадрате чего оно задано?

По всей видимости, на декартовом квадрате совокупности всех имён объектов, возможных в данной теории.