Ассоциативность в абелевой группе

[oleg.k]

Я как-то не совсем ясно понимаю требование ассоциативности в абелевой (и в произвольной) группе. Аксиома ассоциативности в абелевой группе выглядит следующим образом:

аксиома писал(а):

$(a+b)+c = a+(b+c)$ $\forall a, b, c \in G$

Я отношусь к ней, как к выражению, которое "работает" "слева направо". Иными словами, на мой взгляд утверждение $a+(b+c) = (a+b)+c (\forall a, b, c \in G)$ уже не аксиома, а теорема. И эта теорема легко доказывается в абелевой группе. В доказательстве используется коммутативность.

Но если рассмотреть произвольную группу (в которой нету коммутативности), то доказать $a+(b+c) = (a+b)+c$ из $(a+b)+c = a+(b+c)$ уже не получится. Т.е. по-хорошему в произвольной группе должна быть не одна аксиома, а две: $(a+b)+c = a+(b+c) (\forall a, b, c \in G)$ и $a+(b+c) = (a+b)+c (\forall a, b, c \in G)$. Но тем не менее аксиома ассоциативности в произвольной группе одна. Почему так? Я могу лишь предположить, что подразумевается, что выражение с "=" является по сути двумя выражениями (одно вправо, другое влево). Но тогда в абелевой группе такая "двусторонняя" ассоциативность будет избыточна.

Вобщем, как все это понимать?

[mihaild]

Если в сигнатуре есть равенство, то подразумевается, что в аксиомы включены аксиомы равенства - в том числе $\forall x\forall y ((x=y) \rightarrow (y=x))$. Из этой аксиомы и ассоциативности слева направо уже выводится ассоциативность справа налево.

[Connector]

oleg.k, допустим, что у нас постулируется существование нейтрального элемента:
Существует $e \in G$, такой что для любого $a \in G, \,\ a+e=a$.
Следует ли отсюда, что для любого $a \in G, \,\ a=a+e$?
Это я к тому, что коммутативность здесь ни при чём.

[oleg.k]

Connector в сообщении #1427305 писал(а):

oleg.k, допустим, что у нас постулируется существование нейтрального элемента:
Существует $e \in G$, такой что для любого $a \in G, \,\ ae=a$.

Это Вы постулировали существование правого нейтрального элемента. Под нейтральным элементом подразумевают двусторонний нейтральный. В коммутативной группе достаточно потребовать существование одностороннего нейтрального элемента. Но затем надо доказать, что он же будет и двусторонним. В обычной группе так постулировать существование нейтрального элемента нельзя.

-- 23.11.2019, 13:27 --

Вы видимо исправили умножение на сложение. Все сказанное все равно остается в силе.

-- 23.11.2019, 13:33 --

Connector в сообщении #1427305 писал(а):

Это я к тому, что коммутативность здесь ни при чём.

Если речь про абелеву группу, то я доказываю ассоциативность "слева направо" так:

$a+(b+c) = (b+c)+a = b+(c+a) = (c+a)+b = c+(a+b) = (a+b)+c$

коммутативность используется 3 раза. Почему она ни при чем?

-- 23.11.2019, 13:41 --

mihaild в сообщении #1427304 писал(а):

Из этой аксиомы и ассоциативности слева направо уже выводится ассоциативность справа налево.

Т.е. можно просто смотреть на выражение с равенством и видеть два высказывания в обе стороны?

[Connector]

oleg.k в сообщении #1427306 писал(а):

В обычной группе так постулировать существование нейтрального элемента нельзя.

Можно; достаточно потребовать существования правого нейтрального и правого противоположного (либо левого нейтрального и левого противоположного), затем доказать, что нейтральный является двусторонним (коммутативность для этого не потребуется).

(Оффтоп)

oleg.k в сообщении #1427306 писал(а):

Вы видимо исправили умножение на сложение. Все сказанное все равно остается в силе.

Да. Заметил, что у Вас аддитивная символика и решил исправить.

oleg.k в сообщении #1427306 писал(а):

Почему она ни при чем?

Да, Вашу идею я понял; я хотел сказать, что в случае с нейтральным элементом коммутативность всё равно не поможет, а значит и с ассоциативностью надо разобраться по другому — так, как указывает mihaild. Хотел сказать, что вопрос никак не связан с тем, абелева группа или нет, а скорее с тем, как вообще понимать высказывания вида $x=y$ .
...

oleg.k в сообщении #1427301 писал(а):

Но тогда в абелевой группе такая "двусторонняя" ассоциативность будет избыточна.

В абелевой группе что-то из аксиом группы оказывается избыточным — достаточно потребовать, чтобы какое-либо одно из уравнений $a+x=b$ и $y+a=b$ обладало (единственным) решением.

[oleg.k]

Connector в сообщении #1427312 писал(а):

как вообще понимать высказывания вида $x=y$ .

Вот в этом у меня и проблема. Допустим, я доказал, что в кольце выполняется $a(-b) = -(ab) (\forall a, b \in K)$. Я должен доказывать, что $-(ab) = a(-b) (\forall a, b \in K)$?

[Munin]

oleg.k в сообщении #1427306 писал(а):

Т.е. можно просто смотреть на выражение с равенством и видеть два высказывания в обе стороны?

Да.

Правила работы с равенством - такие же, как в средней школе. Их "отменяют" только в матлогике, а не в алгебре. В алгебре пользуются обычными правилами.

(Замечание на будущее.) Кстати, так же, как в средней школе, пользуются и знаком равенства для уравнений. Например, $a+x=b,$ где $x$ неизвестная, означает, что надо перебирать все $x\in G,$ и выбрать те, при которых просто левая и правая части будут одним и тем же элементом $G.$ Итоговое множество ответов считается множеством корней уравнения.

-- 23.11.2019 14:52:01 --

oleg.k в сообщении #1427322 писал(а):

Вот в этом у меня и проблема. Допустим, я доказал, что в кольце выполняется $a(-b) = -(ab) (\forall a, b \in K)$. Я должен доказывать, что $-(ab) = a(-b) (\forall a, b \in K)$?

Нет.

Но вот утверждение $(-a)b=-(ab)$ - это уже другое утверждение.

Кстати, кольцо обозначается обычно $R$ или $A$ - ring, anneau.
А обозначение $K$ обычно резервируется за полем (иначе $F$ - Körper, field).
Эти буковки соблюдать полезно, потому что позволяет читателю не вчитываться, что же это за буковка.

[oleg.k]

Munin в сообщении #1427325 писал(а):

Нет.

Почему? Я это утверждение методом от противного доказываю: пусть $\exists a, b \in K: -(ab) \ne a(-b)$ Рассмотрим сумму $[-(ab) + ab] + a(-b)$.

С одной стороны $[-(ab) + ab] + a(-b) = -(ab) + [ab + a(-b)] = -(ab) + [a(-b) + ab] = -(ab) + [-(ab) + ab] = -(ab) + 0 = -(ab)$

С другой стороны $[-(ab) + ab] + a(-b) = 0 + a(-b) = a(-b)$.

Одна и та же сумма $[-(ab) + ab] + a(-b)$ не может иметь два разных результата. Получили противоречие.

Что это такое, если не доказательство?

-- 23.11.2019, 15:14 --

(Оффтоп)

Обозначение $K$ для кольца я взял у Винберга. Спасибо за подсказку. Буду иметь в виду. В рамках этой темы менять обозначения смысла нету.

[tolstopuz]

В первом сообщении вы допускаете, что при $a=b$ может случиться так, что $b\ne a$. Но в последнем сообщении вы не хотите допускать, что при $c=a$ и $c=b$ получится $b\ne a$. Вам не кажется это нелогичным?

[oleg.k]

tolstopuz в сообщении #1427330 писал(а):

Но в последнем сообщении вы не хотите допускать, что при $c=a$ и $c=b$ получится $b\ne a$. Вам не кажется это нелогичным?

Извините, но я Вас не понял. В последнем сообщении у меня одна и та же сумма имеет разные результаты. Сумма - это операция. Операция - это функция. Значение функции на упорядоченной паре однозначно. Иными словами, получилось противоречие с тем, что кольцо является алгебраической структурой.

[tolstopuz]

У вас не написано, что правая часть - "значение функции", написанной в левой части, или "результат". У вас написаны два выражения, между которыми стоит некий знак из двух параллельных отрезков, смысл которого вы не можете объяснить.

Я тоже умею такие рассуждения: пусть $a=b$.

Тогда, рассматривая действие одноместной операции $id$, значение которой равно аргументу, с одной стороны имеем:
$id(a)=b,$
а с другой стороны, очевидно,
$id(a)=a,$
но одна и та же операция от одного и того же аргумента не может иметь два разных результата. Значит, $b=a$.

[oleg.k]

tolstopuz в сообщении #1427373 писал(а):

У вас не написано, что правая часть - "значение функции", написанной в левой части, или "результат".

В левой части не функция. В левой части тоже значение функции. Например, $2 + 3 = 3 + 2$. Слева значение функции $f:\mathbb{N}^2 \to \mathbb{N}$ и справа значение функции $f:\mathbb{N}^2 \to \mathbb{N}$.

-- 23.11.2019, 20:37 --

tolstopuz в сообщении #1427373 писал(а):

некий знак из двух параллельных отрезков, смысл которого вы не можете объяснить.

Именно так.

-- 23.11.2019, 20:44 --

Меня вот это интересует:

oleg.k в сообщении #1427322 писал(а):

Вот в этом у меня и проблема. Допустим, я доказал, что в кольце выполняется $a(-b) = -(ab) (\forall a, b \in K)$. Я должен доказывать, что $-(ab) = a(-b) (\forall a, b \in K)$?

Munin говорит, что не надо, но в сообщении post1427329.html#p1427329 я набрал некий текст, отдаленно напоминающий доказательство. Чем он является, мне пока не понятно.

[Munin]

oleg.k в сообщении #1427374 писал(а):

я набрал некий текст, отдаленно напоминающий доказательство. Чем он является, мне пока не понятно.

Очевидно, текстом, отдалённо напоминающим доказательство. Настолько отдалённо, что доказательство неизвестно чего, и неизвестно из каких посылок.

[oleg.k]

Munin в сообщении #1427388 писал(а):

Очевидно, текстом, отдалённо напоминающим доказательство. Настолько отдалённо, что доказательство неизвестно чего, и неизвестно из каких посылок.

А можно поподробнее?

Munin в сообщении #1427388 писал(а):

неизвестно чего

Вот этого:

oleg.k в сообщении #1427322 писал(а):

$-(ab) = a(-b) (\forall a, b \in K)$

[Someone]

oleg.k, надо не страдать фигнёй, а просто использовать аксиомы равенства. Среди них есть такие аксиомы, как
1) рефлексивность: $a=a$;
2) симметричность: $a=b\Rightarrow b=a$;
3) транзитивность: $a=b\vee b=c\Rightarrow a=c$.
А также ещё бесконечное множество аксиом, с которыми можно познакомиться в учебнике математической логики.