В чем принципиальное различие между МКР, МКЭ, МГЭ и т.д.?

[Algorithm]

Часто можно встретить упоминания методов конечных разностей (МКР), конечных элементов (МКЭ), конечных объемов (МКО), граничных элементов (МГЭ). Чем они отличаются между собой? Есть ли литература в которой описаны различия между методами? Еще лучше было бы, если бы один и тот же простой пример был решен с помощью каждого из этих методов. Лично для меня все это методы конечных элементов, потому что область дробиться на элементарные кубики, как их не назови. Но для математиков, видимо, различия более существенны, раз даже терминология придумана. Хорошо, если бы кто-нибудь рассказал на пальцах, по-простому.

[PAV]

Переносится из дискуссионного раздела.

[Zai]

Algorithm писал(а):

В чем принципиальное различие между МКР, МКЭ, МГЭ и т.д.?

МГЭ - метод, использующий аналитические решения для численного решения краевых задач, когда в контрольных точках на границе удовлетворяются граничные условия. Из этих соотношений составляется система алгебраических уравнений и может быть вычислено решение в любой точке. Метод хорош для полубесконечных тел. Недостаток метода - невозможность решать нелиенйные задачи.

МКЭ - метод формирования алгебраических уравнений на основе матриц элементов. Для узловых точек, скажем в плоском случае, к точке могут примыкать три, четыре или больше элементов. Это в некоторых случаях может привести к потере аппроксимации. Метод очень эффективен для быстрого получения первого результата решения задачи.

МКР - формирование алгебраических уравнений осуществляется на шаблоне, когда топология узла и находящихся рядом с ним ячеек (элементов) строго задана. Для существенно нелинейных задач это позволяет проводить аппроксимацию в криволинейных координатах с более высоким порядком. Считается, что достоверность решений МКР существенно больше чем у МКЭ.

[Algorithm]

Спасибо! Но ведь и в МКЭ и в МКР формируются конечно-разностные уравнения? Под шаблоном в МКР подразумевается фиксированное количество примыкающих к рассматриваемой точке элементов? Странно, что МКЭ дает более быстрое решение, при том, что топология более сложная... Или это достигается за счет того, что где нужно - можно поставить более подходящие элементы с меньшим количеством связей, тем самым уменьшая размерность матрицы? А в МКР хочешь или не хочешь - используй фиксированный шаблон, и уравнений получается больше, так?

А МКО, метод конечных объемов, чем отличается от всех остальных?

[Zai]

Algorithm писал(а):

Но ведь и в МКЭ и в МКР формируются конечно-разностные уравнения?

В МКЭ конечно-разностные уравнения формируются в программе и их нельзя увидеть в виде формул. В МКР это иногда удается сделать.

Algorithm писал(а):

Странно, что МКЭ дает более быстрое решение, при том, что топология более сложная...

Время решения задачи МКР на компьютере иногда меньше чем МКЭ. Быстрота решения не всегда связана с быстротой решения алгоритма, реализованного на компьютере. Она также включает время подготовки исходных данных, адаптации предыдущей версии программы к новой задаче, решение тестовых задач и др. МКЭ очень прост и эффективен в подготовке модели со сложной геометрией.

Algorithm писал(а):

А МКО, метод конечных объемов, чем отличается от всех остальных?

Метод конечных объемов больше используется в гидродинамике. Для ячеек с произвольным количеством граней (ребер) формулируются алгебраические соотношения, иногда существенно нелинейные и больше похожие на гидравлические формулы. В отличии от МКЭ и МКР в них отсутствуют узловые определяющие параметры среды, отдавая предпочтение параметрам на ребрах и гранях.

[Munin]

Zai в сообщении #142413 писал(а):

МКР - формирование алгебраических уравнений осуществляется на шаблоне, когда топология узла и находящихся рядом с ним ячеек (элементов) строго задана.

А как насчёт МКР с динамически формируемой сеткой?

[Eugeen1948]

Munin писал(а):

Цитата:

А как насчёт МКР с динамически формируемой сеткой?

Это мы давно прошли (см. на стр. 131 раздел 5. Adaptive grid methods в докладе:
Kolev N.P., Katkovsky E.A. "Transient Two-Phase Flow Analysis Using High-order Numerical Schemes", in Multi-Phase Flow and Heat Transfer III. Part A: Fundamentals. Elsevier Science Publishers B.V., Amsterdam, IMACS, 1984, pp. 111-135.

[Zai]

Munin писал(а):

А как насчёт МКР с динамически формируемой сеткой?

Если в реализации МКР не используются свойства шаблона, то как данную реализацию считать МКР?

[ha]

А в чем проблема? В каждой точке решаем систему уравнений на коэффициенты, чтобы добиться нужного порядка точности.

[TOTAL]

Zai писал(а):

Munin писал(а):

А как насчёт МКР с динамически формируемой сеткой?

Если в реализации МКР не используются свойства шаблона, то как данную реализацию считать МКР?

Поясните, пожалуйста, что Вы понимаете под "(не)используются свойства шаблона".

[Zai]

TOTAL писал(а):

Поясните, пожалуйста, что Вы понимаете под "(не)используются свойства шаблона".

не используются свойства шаблона:
Если алгебраические соотношения в узле получены из некоторых алгебраических соотношений в ячейках и при этом алгебраических соотношения в ячейке получены без каких либо данных из рядом находящихся ячеек.

[TOTAL]

Zai писал(а):

TOTAL писал(а):

Поясните, пожалуйста, что Вы понимаете под "(не)используются свойства шаблона".

не используются свойства шаблона:
Если алгебраические соотношения в узле получены из некоторых алгебраических соотношений в ячейках и при этом алгебраических соотношения в ячейке получены без каких либо данных из рядом находящихся ячеек.

Абсолютно непонятно, что такое "не используются свойства шаблона".
А что такое "используются свойства шаблона"?
Вообще, что такое "свойства шаблона"?

[Zai]

Шаблон используется в МКР при замене пространственных и временных производных на их конечно-разностные аналоги. В МКЭ шаблон отсутствует.
из Вики http://ru.wikipedia.org/wiki/Свойство_(программирование) :
Свойство - составляющая часть объекта, доступ к которой осуществляется программистом, как и к переменным объекта.

В МКЭ не используются свойства шаблона, как и сам шаблон.

Добавлено спустя 1 минуту 54 секунды:

Munin писал(а):

А как насчёт МКР с динамически формируемой сеткой?

Есть ли шаблон для МКР с динамически формируемой сеткой?

[Eugeen1948]

Munin писал(а):

А как насчёт МКР с динамически формируемой сеткой?

Цитата:

Есть ли шаблон для МКР с динамически формируемой сеткой?

Шаблон может быть. а может и не быть
Поясню на примере одномерного нестационарного ур-ния теплопроводности (всем известного).
Примитивная КР-схема: трехточечный шаблон по пространству и двухточечный - по времени.
Теперь усложняем алгоритм сгущая сетку в местах, где решение быстро меняется и разряжаем сетку там где решение изменяется слабо. При этом шаблон остаётся неизменным.
Очевидно, что для такой схемы потребуется, как промежуточная операция, интерполяция для нахождения функции в новых точках (пространственных узлах).
Но вот другой подход к решению.
Шаблон по времени остается неизменным, а необходимые аппроксимации вторых производных, которые ранее находились по трехточечному шаблону, вычисляются с помощью кубического сплайна используя все (все!!!) пространственные узлы Причем пространственная сетка может быть неравномерная и алгоритм добавления (удаления) пространственных узлов не ухудшает порядок точности расчетной схемы. Заметим, что здесть пространственного шаблона нет!

Ещё одно соображение. Нет четкой границы между численными методами решения УЧП. Всегда можно привести примеры симбиоза двух и более методов при решении одной и той же задачи.

[TOTAL]

Zai писал(а):

В МКЭ не используются свойства шаблона, как и сам шаблон.

Пожалуйста, приведите пример, в котором шаблон используется, а "свойства шаблона" не используются.