Да, помнится, решал эту задачу лет так 27 назад - будучи матучеником маткласса. Попытаюсь вспомнить. Решение таково:
Для каждой буквы "Т" на плоскости делаем следующее:
{
Берем ее "характерный размер" - минимальное из расстояний от точки разветвления (назовем ее "вершиной") до концов трех отходящих отрезков (далее "концы"), пусть оно равно d.
Проводим окружность диаметром d/2, - нет, лучше d/10
, - с центром в вершине. Тогда отрезки, выходящие из вершины буквы, делят соотв. круг на 3 области (сектора).
Произвольным образом выбираем _внутри_ (т.е. не на границе) каждой области круга по точке с рациональными координатами. Т.к. мн-во рациональных чисел всюду плотное на числовой прямой, и, следовательно, мн-во точек с рациональными координатами всюду плотное на плоскости, это можно сделать всегда.
}
Таким образом, мы построили отображение мн-ва букв Т во мн-во троек точек плоскости с рациональными координатами.
Теперь докажем, что никакие две различные буквы не могут отображаться на одну и ту же тройку точек. Это тот самый момент в доказательстве, где требуется максимальная аккуратность. Потому как про "три рациональные точки" помнят все, кто когда-либо сталкивался с этой задачей, а вот этот конкретный момент - немногие. Рассмотрим произвольную пару букв: T и T'. Пусть радиус круга для буквы Т' больше либо равен радиусу круга для буквы T. Рассмотрим 2 случая:
1. Вершина буквы T' лежит внутри круга буквы T. Но тогда в силу предположения d(T')>=d(T) все три "конца" буквы T' лежат вне этого круга. Из непересечения букв T и T' очевидно, что все три точки пересечения отрезков буквы T' с окружностью для T лежат в одном из трех секторов, на который отрезки буквы T делят соотв. круг. Но из этого следует, что, как минимум, 2 из 3 точек, соответствующих букве T', лежат в одном из этих секторов либо вообще вне круга. Но все три точки, соотв. букве T, лежат в _разных_ секторах _внутри_ круга. Следовательно, тройки точек для букв T' и T никак не могут совпадать.
2. Случай, когда вершина буквы T' лежит вне или на границе круга буквы T, рассматривается аналогично.
Таким образом, мы построили биекцию между мн-вом букв T на плоскости и некоторым подмножеством троек точек с рациональными координатами. Последнее конечно либо счетно, следовательно, мн-во букв T на плоскости также не более чем счетно.
)