Отображение, комплексная функция

[Stensen]

Всем доброго здравия. Уважаемые помогите изобразить на комплексной плоскости $ arg(z^2)=\frac{\pi}{2} $.

Т.к. в показательной форме $z=\left\lvert z \right\rvert \exp \left\lbrace i\, Arg (z) \right\rbrace = \left\lvert z \right\rvert \exp \left\lbrace i\, (arg (z) + 2\pi k) \right\rbrace $ , то

1. $w(z)=z^2=\left\lvert w \right\rvert \exp \left\lbrace i\, arg (w) \right\rbrace = \left\lvert z \right\rvert ^2 \exp \left\lbrace i\, \cdot 2 (arg (z) +2 \pi k) \right\rbrace $ , отсюда: $ arg (w) = arg (z^2) = 2 (arg (z) +2 \pi k)$

2. т.к. по условию $ arg(z^2)=\frac{\pi}{2} $ , то $ 2 (arg (z) +2 \pi k) =\frac{\pi}{2}$ , отсюда $ arg (z) = \frac{\pi}{4} - 2 \pi k $ , т.е. для $\forall k\in \mathbb{Z}$ имеем одно решение $arg (z) = \frac{\pi}{4} $ , это луч, исходящий из нуля под углом 45 град.,

но в ответе даны два решения $arg (z) = \frac{\pi}{4} $ и $ \frac{5 \, \pi}{4} $ ??

3. более того, известно, что $w=z^2$ однозначная функция

Все ли верно или косяк?

[arseniiv]

Косяк, возьмите любое число с таким аргументом, хотя бы то же $\exp(\frac54\pi i)$ — у его квадрата действительно будет аргумент $\frac{\pi}2$.

-- Вт ноя 19, 2019 14:29:04 --

Я бы всё время работал с аргументом, а не его главным значением: тогда имеем простое $\operatorname{Arg} z^2 = 2\operatorname{Arg} z$. А с главным значением уже тонкости получаются, и к нему можно перейти лишь в конце: $2\operatorname{Arg} z = \frac{\pi}2 \mathbin{(+} 2\pi n) \Rightarrow \operatorname{Arg} z = \frac{\pi}4 + \pi n$, а вот тут мы уже можем ограничить себя главным значением: $\arg z = \frac{\pi}4$ или $\arg z = \frac{5\pi}4$.

-- Вт ноя 19, 2019 14:30:28 --

Конкретно эту задачу можно воспринимать как половинку задачи о нахождении корней $m$-й степени: аргументов будет допустимых $m$ штук, а модуль нам совершенно не интересен.

[SiberianSemion]

Stensen в сообщении #1426749 писал(а):

$ 2 (\arg (z) +2 \pi k) =\frac{\pi}{2}\,.$

Если угол на левой стороне вы рассматриваете с точностью до $2\pi k$, то имеет смысл и с правой стороной делать то же самое:

$$ 2 (\arg (z) +2 \pi k) =\frac{\pi}{2}+2 \pi m\,.$$

-- 19 ноя 2019, 18:43 --

(Оффтоп)

По сути, листы корня различаются (об этом можно почитать, например, в двухтомнике Маркушевича), и с этой точки зрения ответ ТС фундаментально верный. Но поскольку это задача на "размять пальцы рук", то на такие вещи можно не обращать внимания.

[arseniiv]

(SiberianSemion)

SiberianSemion в сообщении #1426754 писал(а):

По сути, листы корня различаются (об этом можно почитать, например, в двухтомнике Маркушевича), и с этой точки зрения ответ ТС фундаментально верный.

Ну ээ а чем он лучше $\frac54\pi$? Каким следует назначить «правильный ответ» например для аргумента, равного $\pi$? Мы можем ради некоторого ограниченного удобства предпочитать одно другому, но у нас получится разрывная функция со свободой определения, по какой кривой ей сделать разрыв.

[Stensen]

Всем спасибо, разобрался

[SiberianSemion]

(Оффтоп)

arseniiv в сообщении #1426759 писал(а):

Каким следует назначить «правильный ответ» например для аргумента, равного $\pi$? Мы можем ради некоторого ограниченного удобства предпочитать одно другому, но у нас получится разрывная функция со свободой определения, по какой кривой ей сделать разрыв.

Конечно, если мы введем предпочтения на аргументы, разделяя их на "правильные" и "неправильные", то, действительно получим разрыв, как вы правильно подметили. Но я подразумевал гораздо безобидную вещь:

arseniiv в сообщении #1426759 писал(а):

Ну ээ а чем он лучше $\frac54\pi$?

если удвоим $\frac\pi 4,$ получим $\frac\pi 2,$ а если удвоим $\frac54\pi,$ то получим $\frac{10}4\pi$))) Они попросту лежат на разных ветвях. То есть, я понимаю это так, что указанное в условии значение $\frac \pi 2$ побуждает нас выбрать конкретную ветвь квадратного корня. Вне же условия никакие ветви, конечно, не выделяются, и разрывов (храни нас бог!) не возникает.

[arseniiv]

(Оффтоп)

SiberianSemion в сообщении #1426765 писал(а):

если удвоим $\frac\pi 4,$ получим $\frac\pi 2,$ а если удвоим $\frac54\pi,$ то получим $\frac{10}4\pi$))) Они попросту лежат на разных ветвях. То есть, я понимаю это так, что указанное в условии значение $\frac \pi 2$ побуждает нас выбрать конкретную ветвь квадратного корня. Вне же условия никакие ветви, конечно, не выделяются, и разрывов (храни нас бог!) не возникает.

Ну это как-то непоследовательно выходит. Мы или говорим об аргументе, а тогда их вообще бесконечное число разных, или мы говорим о главном значении аргумента, а тогда никакого $\frac{10}4\pi$ не принимается. Или мы говорим о какой-то странной третьей сущности, польза которой заранее совершенно не очевидна.

По-моему чтение учебника ТФКП к таким аберрациям приводить не должно.

[SiberianSemion]

(Оффтоп)

Больше этот оффтоп развивать не буду.

arseniiv в сообщении #1426766 писал(а):

Мы или говорим об аргументе, а тогда их вообще бесконечное число разных

Дык об чем и речь. Об аргументе говорим, которых "бесконечное число разных". Где вы увидели "третью сущность" $-$ непонятно.

[arseniiv]

(Оффтоп)

Ну где-где, в мотивах отбрасывания одного из двух решений.