непрерывно дифференцируемая функция на отрезке

[ewert]

vpb в сообщении #1426526 писал(а):

Однако, почленное дифференцирование рядов --- вещь достаточно сложная ! Во всяком случае, ТС до нее пока не дошел. И в любом случае, там технических деталей будет больше, как мне видится.

А вдруг дошёл. В конце концов, знает же он про канторово множество, а оно (тем более жирное) -- штука более изощрённая, чем почленное дифференцирование ряда. Детали же понадобятся в любом случае, и в любом случае минимальные.

Если же не знает, то и без неё легко (и тоже с минимумом деталей). Пусть $\varphi(t)$ -- любой гладкий колокольчик с носителем $(-1;1)$ (скажем, $(1-x^2)^2$ или $e^{\frac1{x^2-1}}$; впрочем, явные формулы здесь скорее вредны). На каждый выкидываемый интервал полуширины $h$ (т.е. ширины $2h$) сажаем сжатую копию этого колокольчика, причём сжатую по вертикали сильнее, чем по горизонтали -- например, $h^2\varphi(\frac{x-x_0}h)$, где $x_0$ -- середина интервала. Модуль производной на таком интервале не превосходит $Ch$, где $C$ -- это просто максимум исходной $|\varphi'(t)|$. Поэтому производная в точках канторова множества существует и равна нулю (мы подходим к каждой такой точке в худшем случае по выкидываемым интервалам уменьшающейся ширины). Но и предел производной в точках канторова множества будет нулевым по той же причине. Т.е. функция непрерывно дифференцируема.

[vpb]

Ну может и дошел ...